高二數學 空間向量 4題

Question

1.已知A( 2,4,-1 )，C( 1,0,2 )，若在y軸上取一點B使 角ABC=90度，則點B的座標為_________，三角形ABC的面積為__________

2.已知P( -2,3,6 )，若分別在x,y,z軸上取A,B,C三點使 (線段PA)^2 (線段PB)^2 (線段PC)^2 (線段BC)^2 有最小值為________，此時A.B.C之座標分別為 ??

3.已知A( 5,-3,3 )，B( 3,1,1 ) ，若直線AB分別交xy.yz,zx 三座標平面於P,Q,R三點，則P,Q,R 座標分別為?

4.設a向量= ( 4,5,3 )，b向量= ( 2,2,1 ) ，則同時與a向量,b向量 垂直的單位向量為 ??

Answer 1

1. y軸上取一點B座標 (0, y, 0)
AB 向量 (2, 4-y, -1)，BC 向量(1, -y, 2)
角ABC=90度 => AB* BC = 0
=> 2- y(4-y) - 2 = 0
=> y = 0 or 4
點B的座標為 (0, 0, 0) or (0, 4, 0)
y = 0, |AB| = √21, |BC| = √5, 三角形ABC的面積為 (√105)/2
y = 4, |AB| = √5, |BC| = √21, 三角形ABC的面積為 (√105)/2
2. PA2 ＋PB2＋ PC2＋ BC2 有最小值
=> A點是 P(-2, 3, 6) 在 x 軸的垂足點 => A = (-2, 0, 0)
設 B(0, b, 0), C(0, 0, c)
PB2＋ PC2＋ BC2
= [4＋(3-b)2＋36]＋[4＋9＋(6-c)2]＋[b2＋c2]
= 2b2 - 6b＋ 2c2 - 12c＋ 98
= 2(b - 3/2)2＋ 2(c - 3)2＋ 98 - 9/2 - 18
=> b = 3/2, c = 3 有最小值
A(-2, 0, 0), B(0, 3/2, 0), C(0, 0, 3)
3. BA 向量(2, -4, 2)
直線AB 參數式: ( 3＋2t, 1-4t, 1＋2t )
交 xy座標平面 (z = 0)
=> 1＋2t = 0
=> t = -1/2
=> P點 (2, 3, 0)
交 yz座標平面 (x = 0)
=> 3＋2t = 0
=> t = -3/2
=> Q點 (0, 7, -2)
交 xz座標平面 (y = 0)
=> 1 - 4t = 0
=> t = 1/4
=> R點 (7/2, 0, 3/2)
4. 同時與 a向量, b向量 垂直
=> a向量, b向量的外積
｜５　３｜　｜３　４｜　｜４　５｜
｜２　１｜，｜１　２｜，｜２　２｜
= ( -1, 2, -2), 長度 = 3
=> 單位向量(-1/3, 2/3, -2/3)
反方向的單位向量(1/3, -2/3, 2/3)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.