高二數學 平面方程式 2題 (2)

Question

1.若平面E與平面a(x 1) b(y 4) c(z-2)=0對稱於點M(1,2,1)，則平面E的方程式為???

2.含直線 x y 5=0 , 3y 2z 7=0 且與直線 2x 2y z-11=0 , x 4y z-16=0 平行 。求平面方程式~

Answer 1

1. 平面 E 與平面 F: a(x ＋1)＋ b(y＋ 4)＋ c(z-2) = 0 對稱於點M
兩平面的法向量相同
平面 F 過點A(-1, -4, 2)
點A 對稱於點M(1, 2, 1) 的對稱點為(3, 8, 0)
平面 E: a(x - 3)＋ b(y- 8 )＋ cz = 0
2. 含直線 x＋ y＋ 5 = 0 , 3y＋ 2z ＋7 = 0
平面方程式 (x＋ y＋ 5) ＋k(3y＋ 2z ＋7) = 0
平面的法向量: (1, 1＋3k, 2k)
直線 2x＋ 2y＋ z-11=0 , x＋ 4y＋ z-16=0 的方向量
| 2 1| |1 2| |2 2|
| 4 1|, |1 1|, |1 4|= (-2, -1, 6)
平行: 平面的法向量 與 直線的方向量 垂直
(1, 1＋3k, 2k) * (-2, -1, 6) = -1
=> -2 - (1＋3k)＋12k = -1
=> 9k = 2
=> k = 2/9
平面方程式 (x＋ y＋ 5) ＋(2/9)(3y＋ 2z ＋7) = 0
=> 9x＋15y＋ 4z ＋59 = 0
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.


2007-02-26 00:01:21 補充：
抱歉 寫到平面的概念去了:

平行: 平面的法向量 與 直線的方向量 垂直
(1, 1＋3k, 2k) * (-2, -1, 6) = 0 (<== 平面斜率乘積才是 -1)
=> -2 - (1＋3k)＋12k = 0
=> 9k = 3
=> k = 1/3
平面方程式 (x＋ y＋ 5) ＋(1/3)(3y＋ 2z ＋7) = 0
=> 3x＋6y＋ 2z ＋22 = 0