數學高手 幫幫忙~ 我算不出來阿...

Question

1.直線 2x y-k=0 與圓 x平方2 y平方2=9 相切 , 則 K =?

2.P 為圓 C: (x-2)平方2 (y-1)平方2=4 上之一點 , 則 P 至直線 L:3x 4y 8=0 之最小距離為??

3.若直線 L 的方程式為 2x y 4=0 , 圓 C 的方程式為 x平方2 y平方2-2x-4y-11=0 , 則直線 L 與圓 C 有幾個交點 ?

Answer 1

1. 圓: x2 ＋y2 = 9 => 圓心 (0, 0) 半徑: 3
直線 2x＋ y - k= 0 與圓相切
=> 圓心 (0, 0) 到直線距離等於半徑
=> | 0 ＋0 - k|/ √(4＋1) = 3
=> | k | = 3√5
直線 2x＋ y＋ 3√5 = 0 or 2x＋ y - 3√5 = 0
2. 圓 C: (x-2)2 ＋(y-1)2 = 4 => 圓心 (2, 1) 半徑: 2
直線 L:3x＋ 4y＋ 8 = 0
圓上點至直線之最小距離 = 圓心 (2, 1) 到直線距離 - 半徑
= | 3*2 ＋ 4*1 ＋ 8| / √(9＋16) - 2
= 18/5 - 2
= 8/5
3. 直線 L 與圓 C 的交點:
(a) 圓心到直線距離> 半徑 => 沒有交點
(b) 圓心到直線距離= 半徑 => 一個交點
(c) 圓心到直線距離< 半徑 => 二個交點
圓 C:x2＋y2 - 2x - 4y - 11 = 0
=> (x-1)2＋(y-2)2= 16 => 圓心 (1, 2) 半徑: 4
直線 L 的方程式為 2x＋ y＋ 4 = 0
圓心到直線距離 = | 2*1＋ 2＋ 4|/√(4＋1)
= 8/√5
= 3.57.. < 4
=> 二個交點
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.