高二數學 向量 2題

Question

1.設 a向量 = (3,1) ，b向量 = (1,2)，v向量= a向量 t倍 b向量，t為實數。
a.) t = ________ ，︱v向量︳ = ________為最小，此時v向量為_____，而二向量 v向量 , b向量之關係為______


2.座標平面上有A(3,4)，B(7,1)兩點及一直線L: x-4y 4=0，若L與線段AB相交於P點，則　線段PA 分之 線段PB = ____________

第二題~ 答案是 9/7

Answer 1

1. v向量 = a向量＋ t倍 b向量
= (3, 1)＋t(1,2)
= (3＋t, 1＋2t)
| v | = √[(3＋t)2＋ (1＋2t)2]
= √[5t2＋10t＋10]
令 f(t) = 5t2＋10t＋10
當 f'(t) = 10t＋10 = 0 時
f(x) 有最小值
t = -1 時 | v | = √5 最小
v = (2, -1)
b*v = (1, 2)(2, -1) = 2 - 2 = 0
=> 內積為 0 所以 v向量和 b向量 垂直
2. P 點在直線 L: x - 4y ＋ 4 = 0 上
設 P 點 (4t - 4, t)
因為 A(3, 4), P, B(7, 1)共線
=>向量AP = c*向量 AB
=> (4t - 7, t - 4) = c(4, -3)
=> (4t - 7)/4 =(t - 4)/(-3)
=> -12t ＋ 21 = 4t - 16
=> 37 = 16t
=> t = 37/16
=> P(21/4, 37/4)
BP/AP
=(37/4-1) / (37/4-4)
= 33 / 21
= 11/7
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-23 22:54:48 補充：
抱歉 P 點寫錯了
=> t = 37/16
=> P(21/4, 37/4)
應該是
=> t = 37/16
=> P(21/4, 37/16)

BP/AP (線段PA 分之 線段PB)
=(37/16-1) / (4-37/16)
= 21 / 27
= 7/9

AP/BP (線段PB 分之 線段PA)
才會 9/7