como explicar o teorema da incompletude Godel?

Answer 1

Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e
Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que uma tal teoria seja consistente".
A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, "ad infinitum".
Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época
O Teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a esses dois teoremas demonstrados por Kurt Gödel

Answer 2

resposta
resumo sobre como explicar o teorema da incompletude Godel=Teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois teoremas demonstrados por Kurt Gödel:

* Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e

* Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que uma tal teoria seja consistente".

A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, "ad infinitum".

Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.
Contexto histórico=No fim do século XIX a filosofia do conhecimento era considerada um bloco monolítico e muitos intelectuais da época consideravam que haveria pouca coisa fundamentalmente nova a ser descoberta.

No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o jovem e genial David Hilbert, imbuído das idéias correntes, apresentou um surpreendente trabalho resumindo as 23 questões ainda "em aberto", as quais, após resolvidas, completariam todo o escopo da matemática.

Hilbert pretendia, como de fato foi parcialmente conseguido, desencadear um esforço geral da comunidade científica a fim de completar a fundamentação lógica da matemática. Nos poucos anos que se seguiram a maior parte das questões por ele propostas foram adequadamente resolvidas.

Em 1931, quando ainda vigorava a proposta de Hilbert de obter a completa construção da teoria matemática através da lógica formal, Gödel publicou o seu trabalho "Sobre as Proposições Indecidíveis", pondo fim a essa expectativa. Na Universidade de Princeton, o prestigiado Neumann, que trabalhava com afinco na proposta de Hilbert, imediatamente mergulhou nos trabalhos de Gödel, dando-lhe grande apoio.

Paralelamente, na Física, estava em pleno andamento o desenvolvimento a teoria quântica e 4 anos antes (1927) Heisenberg já divulgara seu "principio da incerteza", colocando um limite físico na experimentação microscópica direta.

Foi mais um golpe nas hipóteses determinísticas da ciência.

Posteriormente, Church e Turing demonstraram que não há meios de provar se "uma proposição qualquer faz ou não parte de uma teoria".

Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem qualquer outro matemático havia apresentado alguma proposição que ilustrasse os teoremas da indecibilidade. Somente então o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para teste de proposições indecidíveis. Cohen mostrou que a hipótese do continuum, justamente uma das questões fundamentais da matemática, era indecidível.

Answer 3

Teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois teoremas demonstrados por Kurt Gödel:

* Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e

* Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que uma tal teoria seja consistente".

A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, "ad infinitum".

Tipo assim tente entender a física que conhecemos (Fisica Moderna) só podemos provala por quetmos uma teoria mais ampla (fisica moderna) e a fisica moderna como poderemos provar sua completude, isto é, independencia... Não dá pra provar.. hoje em dia existem estudos em teorias mais abrangentes como a teoria das cordas... e ai vai..

Answer 4

Sinceramente... fiz Bacharelado em Matemática Pura na Unesp e nunca ouví tal coisa...

Sei que:
Teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois teoremas demonstrados por Kurt Gödel:

* Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e

* Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que uma tal teoria seja consistente".

A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, "ad infinitum".

Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.

e...

A idéia simples e genial de Gödel

· possibilidade de expressar os paradoxos usando linguagem matemática

· Imagine que temos um aparato teórico (um sistema ou uma teoria) T tal que só podemos, com T, demonstrar o que é verdadeiro. Considere a seguinte asserção U:


ESTA ASSERÇÃO É INDEMONSTRÁVEL EM T.

1. Se U é verdadeira, então não é demonstrável em T.

2. Se U é demonstrável em T, não pode ser verdadeira. Portanto, não pode ser demonstrável em T, pois T só demonstra asserções verdadeiras.

3. Consequentemente, U é verdadeira (já que U afirma não se demonstrável em T) e daí

4. U é verdadeira e indemonstrável em T.

5. Mais ainda, a negação de U, ~U, também não é demonstrável em T, pois se fosse, ~U deveria ser verdadeira, e nesse caso U seria falsa, contrariando (4).

6. Conclusão, U é verdadeira e nem U nem ~U, são indemonstráveis em T, e nosso sistema ou teoria T é incompleto.

Esse é basicamente o resultado do 1º Teorema da Incompletude.

Segue daí que toda teoria ou todo sistema é incompleto?


Há muitos ingredientes neste argumento:

1. a primeira dificuldade é arranjar uma maneira de escrever isso tudo matematicamente.

2. T deve der um modo de “falar sobre provas”.

3. temos de arranjar um U conveniente.

4. T deve ser “consistente”.

5. Muitas possibilidades foram estudadas depois que Gödel mostrou o caminho, mas basicamente T deve ter “uma boa porção de aritmética”

....

Enfim, esta cara é um idiota em minha visão.
Complica muito para dizer que uma resposta pode ter duas alternativas ... sinceramente.
É tão irrelevante que nem é estudado. De tão grotesco... e inútil.
:P

Answer 5

E isso existe?
Para que serve?
Não estou querendo ser sarcástica, mas nunquinha ouvi falar disso meeessmooo!