高二數學 平面方程式 3題

Question

1.通過(1，３，５) 且在三座標軸之截距比為 1:3:5。求平面方程式~

2.平行於平面2x y 2z=1且與三座標平面圍成體積為 9 之四面體。求平面方程式~

3.通過(3,0,-5) 且與二平面x 2y-3z=0 及 3x-y 5z=3 之交線垂直。求平面方程式~

Answer 1

1. 在三座標軸之截距比為 1:3:5 的平面方程式
=> x/1＋y/3＋z/5 = k
過 (1, 3, 5), 代入
=> 1/1＋3/3＋5/5 = k
=> k = 3
平面方程式: x/1＋y/3＋z/5 = 3
2. 平行於平面2x＋ y＋ 2z = 1 的平面方程式
=> 2x＋ y＋ 2z = k
=> 在三座標軸之截距為 k/2, k, k/2
=> 圍成之四面體體積為[(k/2)*k/2]*(k/2)/3
=> k3/24 = 9
=> k3 = 216
=> k = 6
平面方程式: 2x＋ y＋ 2z = 6
3. 與二平面x＋ 2y-3z=0 及 3x-y＋ 5z=3 之交線垂直
=> 平面法向量 = 二平面法向量的外積
= (10-3, -9-5, -1-6)
= (7, -14, -7)
=> 平面方程式: x - 2y -z = k
過 (3,0,-5)
=> 3 - 0＋5 = k
=> k = 8
平面方程式: x - 2y -z = 8
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