Qual a solução da equação diferencial ?

Question

Sendo y uma função de x e A e B constantes, qual a solução da seguinte equação diferencial:

Y" / (A - y)^2 = B , sendo y" a derivada segunda de y em relação a x.

Answer 1

Dependendo de como inicializa o cálculo ele pode se tornar complexo demais...poderia usar y' = p(y) mas dá um resultado super trabalhosa....obteremos uma equação diferente mas quando substituirmos os valores, serão muito próximos...ou seja será uma curva aproximada...



... y’’/(A-y)² = B (1) , seja y’= p² logo y’’ = 2p.dp/dy (2)

substituindo (2) em (1)

2p dp/dy = B(A-y)² , 2p.dp = B(A-y)² dy

logo integrando temos: ∫2p.dp =∫ B(A-y)² dy ,

2p²/2 = B(A –y)³(-1)/3 +C , p² =B(y –A)³/3 + C como y’ = dy/dx = p²

dy/dx = B(y –A)³/3 , dy/(y – A) = B dx/3

integrando : ∫ (y – A)ˉ³dy =( B/3) ∫dx + ∫C dx

- (y – A)ˉ²/2 = B.x/3 + C.x + C1, C, C1 = constante

-1/(y – A)² = 2B.x/3 + Cx + C1

(y – A)² = -3/(2B.x +3C.x + 3C1) ,

(y – A)² = -3/( [2B +3C]x +3C1)

Answer 2

https://www.youtube.com/watch?v=fLaEmvgxkVU

Answer 3

Y" / (A - y)² = B
Y" / (A² -2Ay + y²) = B
Y" = BA² -2BAy + By²
><

Answer 4

Para simplificar, vou usar os símbolos dy e dx.

Temos que y'' = d^2y/dt^2 = dy'/dt = B (A-y)^2. Pela regra da cadeia, dy'/dt = dy'/dy * dy/dt = dy'/dy * y' = B(A-y)^2 Em forma diferencial, y' dy' = B(A- y)^2 dy. Integrando-se os 2 membros, obtemos y'^2/2 = -B/3 *(A-y)^3 + C1/2, sendo C1 uma constante de integração. Assim, (y')^2 = -2/3 * (A - y)^3 + C1. Segue-se que y' = Raiz(-2/3* (A - y)^3 + C1).

Temos então que dy/Raiz(-2/3* (A - y)^3 + C1) = dx. Para resolver, temos que integrar o 1o membro, mas isto não é fácil. Não sei se tem solução analítica.