高中數學{學測題}請解答？

Question

［１］４０的２５５次方除以１３得於數為？
［２］曉明與小華約到學校四百公尺圓形的跑道上跑步，它ㄇ再同意時間從同意地點朝反方向開始跑，小名保持每分鐘３２０公尺，小華保持每分鐘２８０公尺，試問出發後第＿秒，曉明和小華會第８次相遇？
［３］試問有多少ㄍ正整數ｎ使得ｎ分之一加ｎ分之二連加到ｎ分之十為整數？
［４］設ａ［０.0] b[10.0] c[10.6] d[0.6] 為座標平面上四ㄍ點，如果直線y=m[x-7]＋4將四邊形abcd分成面積相等兩塊 則m_多少？

［５］一ㄍ邊長為ｎ的大正方形中　共有ｎ平方各單位正方形　如果每一ㄍ單位正方形的邊長都洽有一跟火柴棒　而此大正方形共用ㄌａ的ｎ次方根火柴棒　那ㄇａ的ｎ＋１次方－ａ的ｎ次方為多少｛以ｎ表示｝？
［回答者請附上公式唷］謝謝！！

Answer 1

1.40=(39 1),(39 1)的40次方除以13的餘數=1的40次方除以13=1

2.時間=距離/速率,第1次相遇的時間為400/(320 280),8次相遇為第一次相遇時間乘8

3.ｎ分之一加ｎ分之二連加到ｎ分之十為55/n,當n為1,5,11,55那55/n即為整數

4.學測有這題嗎?不過畫出來是一個長方形,若面積是原來一半,
圖形畫出來可知此線比這個長方形畫成一個梯形~梯形面積=(上底 下底)x高/2,又長方形面積為長x寬,(若梯形面積是長方形的一半,那梯形面積=長x寬/2)....約分可知上底 下底=長方形的高..
此線y=m[x-7]＋4交長方形兩點於(0,t),(10,6-t),代入可得
t=m(0-7) 4,6-t=m(10-7) 4.得t=1/2,m= 1/2

5.a=1..........

Answer 2

1. 40255 (mod 13)
≡ (39 1)255 (mod 13)
≡ (1)255 (mod 13)
≡ 1 (mod 13)
2. 每分鐘 320 公尺 = 每秒鐘 16/3 公尺
每分鐘 280 公尺 = 每秒鐘 14/3 公尺
第一次相遇 400/(16/3＋14/3) = 40(秒)
第八次相遇 = 40 * 8 = 320(秒)
3. 1/n＋2/n＋...＋10/n = 55/n 為整數
n 為 55 的因數
n 可以是 1, 5, 11, 55
4. 四邊形 abcd 是長方形
現在直線 y=m(x-7)＋4 通過點 (7,4)
通過平行四邊形對角線中點的直線
必平分平行四邊形的面積
此四邊形 abcd對角線中點為 (5,3)
直線兩點式: y-4 = (x-4)* (4-3)/(7-5)
=> m = 1/2
5. 邊長為ｎ的大正方形 共有 2*n*(n＋1)根火柴棒
所以 an = 2n(n＋1)
an＋1 - an = 2(n＋1)(n＋2) -  2n(n＋1)
= 2(n＋1)(n＋2 - n)
= 4(n＋1)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.