Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x^3 -1/x^2)^10?

Answer 1

O sétimo termo. Para descobrir qual o termo independente, pense no número de termos que terá o desenvolvimento desse binômio:11 (o número de termos é um maior que o expoente)
Coloque os números de 1 a 11 no papel.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Como o expoente do x no numerador é 3 e no denominador é 2, elimine os 3 primeiros termos(1,2,3) e os dois últimos termos(10,11), até ter apenas um termo. Você eliminará os seis primeiros (3*2) e os quatro últimos (2*2).
Agora calcule o 7º termo:
Cn,p; onde:
n= expoente=10
p= um número menor que o termo=7-1=6
C10,6=C10,4 (como 4+6 é igual a 10)
C10,4=10*9*8*7/4*3*2*1=210
Resposta: o termo independente é o sétimo e vale 210.

Answer 2

Segundo a classica formula do binômio de Newton, no desenvolvimento de ( x + a)^n o termo geral, de ordem k, k=0,1....n , é dado por C(n,k) x^k a^(n-k), sendo C(n,k) a combinação de n, k a k. No seu caso, substituimos x por x^3 , a por 1/(x^2) e n=10. Assim o termo geral é t(k) = C(10, k) (x^3)^k * (-1/x^2)^(10-k). Com alguma álgebra, chegamos a t(k) = (-1)^(10-k) * C(10,k) * x^(3k -20 + 2k) = (-1)^(10-k) * C(10,k) * x^(5k -20). Para o termo independente, o expoente de x é 0, de modo que isto ocorre se, e somente se, tivermos 5k - 20 = 0 => k = 4. Assim, o termo independente é (-1)^(10 - 4) *C(10,4) = (-1)^6 * (10 * 9 *8 * 7)/(2 * 3 * 4) = (10 * 9 * 7)/3 = 210.