一些三角函數的運算. . .

Question

請大大們幫我回答以下問題 我都搞混了~~ = =

請用 sin、cos、或加負號 回答，謝謝 例：sin(pi/2 - theta) = cos(theta)

以下theta 是第一象限的角度

sin(theta + pi) =
sin(theta - pi) =
sin(pi + theta) =
sin(pi - theta) =

cos(theta + pi) =
cos(theta - pi) =
cos(pi + theta) =
cos(pi - theta) =

sin(theta + pi/2) =
sin(theta - pi/2) =
sin(pi/2 + theta) =
sin(pi/2 - theta) =

cos(theta + pi/2) =
cos(theta - pi/2) =
cos(pi/2 + theta) =
cos(pi/2 - theta) =

又再請問 如果theta是任意角度的話

答案還一樣嗎？

Answer 1

這種題目祇要了解原因就不必背了
1. 不管 @ 是幾度, 一律把它看成銳角 (第一象限角)
2. 任何的三角函數, 祇要用 2nπ來運算, 還是保持原來的函數
3. 任何的三角函數, 祇要用 2nπ+π/2來運算, 要換成它的餘函數
sin <==> cos, tan <==> cot, sec <==> csc
4. 最後以原角度所在的象限來決定正負號
sin, csc 一二為正, 三四為負
cos, sec 一四為正, 二三為負
tan, cot 一三為正, 二四為負
以下8題符合第 2 點, 函數不變, 直接去掉 π
sin(@ + π) = - sin@ (@ + π, 第三象限)
sin(@ - π) = - sin@ (@ - π, 第三象限)
sin(π + @) = - sin@ (π+ @, 第三象限)
sin(π - @) = + sin@ (π- @, 第二象限)

cos(@ + π) = - cos@ (@ + π, 第三象限)
cos(@ - π) = - cos@ (@ - π, 第三象限)
cos(π + @) = - cos@ (π+ @, , 第三象限)
cos(π - @) = - cos@ (π- @, 第二象限)
以下8題符合第 3 點, 去掉 π, 改用餘函數
sin(@ + π/2) = + cos@ (@ + π/2, 第二象限)
sin(@ - π/2) = - cos@ (@ - π/2, 第四象限)
sin(π/2 + @) = + cos@ (π/2 + @, 第二象限)
sin(π/2 - @) = + cos@ (π/2 - @, 第一象限)

cos(@ + π/2) = - sin@ (@ + π/2, 第二象限)
cos(@ - π/2) = + sin@ (@ - π/2, 第四象限)
cos(π/2 + @) = - sin@ (π/2 + @, 第二象限)
cos(π/2 - @) = + sin@ (π/2 - @, 第一象限)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

sin(theta + pi) =-sin(theta)
sin(theta - pi) = -sin(theta)
sin(pi + theta) =-sin(theta)
sin(pi - theta) = sin(theta)

cos(theta + pi) = -cos(theta)
cos(theta - pi) = -cos(theta)
cos(pi + theta) = -cos(theta)
cos(pi - theta) = -cos(theta)

sin(theta + pi/2) = cos(theta)
sin(theta - pi/2) = -cos(theta)
sin(pi/2 + theta) = cos(theta)
sin(pi/2 - theta) = cos(theta)

cos(theta + pi/2) = -sin(theta)
cos(theta - pi/2) = sin(theta)
cos(pi/2 + theta) = -sin(theta)
cos(pi/2 - theta) = sin(theta)