數學的生活應用

Question

請告訴我一個數學概念,一個應用實例,還有其他可以聯想到的東西

Answer 1

微積分中就有很多這樣的東西。我列舉一題微積分原文書後面的習題。
概念 :
f : [a,b] -> |R 是一個在 (a,b) 上可微且在 [a,b] 上連續的函數，則此函數 f 在 [a,b] 上的最大值與最小值必發生在兩端點或是微分等於 0 的地方。
應用實例 :
假設今欲挖掘道路兩旁的排水溝，設計的人被要求使用規格 30*30 平方公分的正方形材料當底部和兩邊來作一個外觀整齊的排水溝，請問要如何設計才會使排水溝有最大的容水量 ?
Sol : \__/ <-- 像這樣
設排水溝兩邊與鉛垂線的夾角是 x，
令 f(x) = 900(sinx)(cosx) + 900(cosx) = 450(sin2x) + 900(cosx)
是排水溝容量的切面。(其中 x 介於 0 到π/2 之間)
f'(x) = 900(cos2x) - 900(sinx) = 0
=> sinx = cos2x
=> 1 - cos^2(x) = (2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1
=> cos^2(x)[4cos^2(x) - 3] = 0
=> cosx = 0 or (√3)/2 (負不合)
=> x = π/2 or π/6
f(π/2) = 0，f(π/6) = 1350 * (√3)/2 = 675√3
故當這種規格的排水溝兩邊與鉛垂線的夾角為 30 度時，其容水量達到最大。

Answer 2

請問你要那個程度的概念?
1. 國小級的
無條件進位: 當餘數不為 0 時, 商數要加 1
例: 某國小全校有師生 500 人參加旅遊.
若每部遊覽車祇能搭乘 45 人,
問需要幾部遊覽車?
答: 500/45 = 11 ... 5
需要 12 部遊覽車
2. 國中級的
當矩形的周長固定時, 以正方形的面積最大.
例: 張三有籬笆長 40 公尺
請問張三所能圍出的最大矩形菜圃的面積是?
答: 以正方形的面積最大.
所以 40/4 = 10 (邊長)
10*10 = 100 (平方公尺)
3. 高中級的
拋物線的焦點 到拋物線上的直線所產生的反射平行此拋物線的軸
例: 手電筒的內部金屬面應該如何做才能使光射的最遠?
答: 做成拋物面, 把燈泡放在焦點上, 則所有的反射光皆以平行線射出, 可以達到最遠的效果.
4. 大學級的
任何一個地圖, 祇要用四種顏色, 就可以將整張圖塗滿, 而且相鄰的區域不會同色.
例: 某餐廳為了準備小朋友的臘筆, 老闆希望小朋友畫圖時, 能夠保證在相鄰的區域不會同色, 請問餐廳要準備多少種顏色的臘筆?
答: 由四色地圖的概念, 祇要用四種顏色.
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.