Você sabe duplicar geometricamente um quadrado?

Question

Este é um problema simples, que os gregos conheciam a resposta: utilizando apenas uma régua sem marcas de medidas, como fazer um quadrado com o dobro da área de um dado quadrado?

Em outras palavras, eu desenho um quadrado, e você desenha um quadrado que tenha exatamente o dobro da área do quadrado que eu desenhei. Tudo que você tem é uma régua e um lápis, e faz o novo quadrado sem precisar calcular a área do quadrado que eu desenhei.

Você consegue fazer o que os gregos já faziam há 2.000 anos atrás?

Pessoal, vocês estão medindo lados. Não precisa medir. Basta raciocinar.

Outra coisa, repetir quatro vezes o quadrado original vai QUADRUPLICAR o quadrado original, e não duplicá-lo.

Este problema aparece em um diálogo de Sócrates (ou será Platão), chamado Ménom.

Answer 1

A resposta é aparentemente simples. Basta dividir o quadrado em dois triângulos retângulos e medir o tamanho da hipotenusa deles. Aí basta construir um quadrado cujo lado tem o mesmo tamanho dessa hipotenusa.

Segue abaixo a demonstração matemática.

Seja um quadrado de lado X. Assim um dos triângulos terá os catetos medindo X e a hipotenusa Y = raiz (X^2 + X^2) = raiz (2.X^2) = X.raiz(2). O novo quadrado de lado Y terá uma área de Y^2 = (X.raiz(2))^2 = 2X, ou seja duas vezes a área do quadrado original.

CQD.

A solução geométrica elaborada por Sócrates para esse problema, conforme "Mênon", um dos diálogos menores de Platão, é a seguinte:

" Sócrates desenha um quadrado formado com quatro cópias do quadrado original com área igual a 4 pés2. O escravo concorda que este quadrado maior tem 16 pés2 de área. Tomando uma diagonal de cada um dos quatro quadrados, Sócrates obtém um novo quadrado. O escravo concorda que este último tem área de 8 pés2 "

Generalizando a solução acima basta tomar um quadrado genérico de lado "X" e replicá-lo formando um quadrado maior contendo os quatro quadrados iguais. O quadrado maior terá portando um lado 2X e área interna 4X^2. Tomando-se as diagonais dos 4 quadrados menores (cada diagonal medirá X.raiz(2)) formaremos um quadrado interno com área 2X^2, ou seja, com o dobro da área do quadrado menor (X^2).

Answer 2

Vejamos,

desenhamos um quadrado e nele traçamos duas retas que tem origem e extremidade nas respectivas medianas dos lados do quadrado, ficando este quadrado dividido em quatro partes iguais. Vamos supor que o lado do quadrado equivale a 6 u.c, obtendo 36 u.a de sua área.
Divindo pelas medianas os respectivos lados, ficaria para os quatro quadrados inscritos no quadrado (redundância aceita,rs) 3 u.c com a área valendo um quarto do total, ou seja 9 u.a.
Traçando diagonais dos quadrados inscritos paralela aos quadrantes (1//3 e 2//4) vamos obter um outro quadrado (um losango de lados congruentes) com diagonais valendo 3 raiz de 2. Logo, o quadrado formado pelas diagonais dos outros quatro quadrados inscritos num quadrado de referência tem lado 3 raiz de 2, portanto sua área vale 18 u.a, ou seja, metade do quadrado de referência (36 u.a), duplicando de forma adequada.

espero ter ajudado.

=]

Answer 3

Área do Quadrado(1) = 2 x Área do Quadrado(2)
[lado(1)]² = 2 x [lado(2)]²
lado(2) = √ [lado(1)]² / 2
lado(2) = lado(1) x √ 1 / 2

Para desenhar tal quadrado, o mais fácil é analisar as diagonais:

Diagonal(1)² = lado(1)² + lado(1)²
Diagonal(1) = lado(1) x √ 2

Diagonal(2)² = lado(2)² + lado(2)²
Diagonal(2)² = [lado(1) x √ (1 / 2)]² + [lado(1) x √ (1 / 2)]²
Diagonal(2)² = [lado(1)² / 2] + [lado(1)² / 2]
Diagonal(2)² = lado(1)²
Diagonal(2) = lado(1)

Como pode ver, a Diagonal do segundo quadrado precisa ser igual ao Lado do primeiro quadrado para que a Área do primeiro seja o dobro da Área do segundo.

Roamara, eu não plagiei sua resposta. Desculpe-me se foi isso que pareceu. Eu cheguei a mesma conclusão que você e da mesma forma: pensando.

Os pontos não são importantes!

As respostas sim!

Answer 4

Puxa, tive que pensar um pouco, mas consegui.

É assim: você traça a diagonal do quadrado. Se o quadrado tem lado L, a diagonal terá L raiz de 2.
Assim, é só traçar um novo quadrado, sendo que a diagonal do primeiro é a aresta do segundo. Se a área do primeiro é L x L = L², a área do segundo é L raiz de 2 x L raiz de 2 = 2L², ou seja, o dobro da área.

Muito boa a pergunta.

Answer 5

é só reproduzir ele 4 vezes