井字遊戲狀態總數

Question

請問從一開始 空的9格棋盤、先下○、後下X...到和局、獲勝繼續下滿、輸也繼續下滿，總共有幾種狀態。
幫忙講一下如何推論、得證!! 謝謝!!~

我的意思是9格都空白算一個狀態，下一步O，又是一種狀態，所以下第一步的就有9種狀態，依此推下去，種共有幾種狀態。

Answer 1

本題在討論 全部填滿 (5O, 4X) 有幾種不同的情況
1. 如果不考慮旋轉後圖形一樣的問題
那有 C(9,4) = 126 種情形 (挑四個位置放 X)
2. 考慮旋轉後圖形一樣的問題
有兩種情形沒有旋轉的問題
(a) 4 個 X 全在角落 (祇有一種選法)
(b) 4 個 X 全在邊上 (祇有一種選法)
所以 有 124 (126-2) 種圖形 經過旋轉後會有相同的圖形
因為有 4 次的旋轉
所以有 124/4= 31 不同的基本圖形
再加上那兩個 全在角落 或 全在邊上 的圖形
共有 33 種
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-12 09:21:12 補充：
如果祇是考慮下子的狀態而不考慮旋轉
當然是 9! ＋ 1
可是那是沒有意義的
所以考慮旋轉時
祇好分成層討論了
1. 未放子: 1 種
2. 放 1 子: 3 種 (角, 邊, 中央)
3. 放 2 子: 12 種
O 中央, X 角 或 邊: 2 種
O 角, X 中央 (1), 角(2) 或 邊(2): 共 5 種
O 邊, X 中央 (1), 角(2) 或 邊(2): 共 5 種

2007-02-12 09:21:52 補充：
4. 放 3 子: 38 種
O 1中央 1角(1) 或 邊(1), X 角(2) 或 邊 (2) : 共 8 種
O 2相鄰角(1), X 中央 (1), 角(1) 或 邊(3): 共 5 種
O 2相對角(1), X 中央 (1), 角(1) 或 邊(1): 共 3 種
O 2相鄰邊(1), X 中央 (1), 角(3) 或 邊(1): 共 5 種
O 2相對邊(1), X 中央 (1), 角(1) 或 邊(1): 共 3 種
O 1角1邊(2), X 沒對稱考量(7): 共 14 種

2007-02-12 09:25:35 補充：
5. 放 4子: 108種
O 1中央1角(1),X 2角(2)或2邊(4)或1角1邊(6):共12種
O 1中央1邊(1),X 2角(4)或2邊(2)或1角1邊(6):共12種
O 2相鄰角(1),X 1中央(4),2角(1)或2邊(4)或1角1邊(4):共13種

2007-02-12 09:25:44 補充：
O 2相對角(1),X 1中央(2),2角(1)或2邊(3)或1角1邊(2):共8種
O 2相鄰邊(1),X 1中央(4),2角(4)或2邊(1)或1角1邊(4):共13種
O 2相對邊(1),X 1中央(2),2角(3)或2邊(1)或1角1邊(2):共8種
O 1角1邊(2),X 沒對稱考量C(7,2)=21:共42種

2007-02-12 09:26:25 補充：
6. 放 5 子: 144 種
O 1中央 2相鄰角(1), X 2角(1) 或 2邊 (4) 或 1角 1邊 (4): 共 9 種
O 1中央 2相對角(1), X 2角(1) 或 2邊 (3) 或 1角 1邊 (2): 共 6 種
O 1中央 2相鄰邊(1), X 2角(4) 或 2邊 (1) 或 1角 1邊 (4): 共 9 種
O 1中央 2相對邊(1), X 2角(3) 或 2邊 (1) 或 1角 1邊 (2): 共 6 種

2007-02-12 09:26:59 補充：
O 3角(1), X 1中央 (3), 2邊(4)或 1角 1邊 (2): 共 9 種
O 3邊(1), X 1中央 (3), 2角(4)或 1角 1邊 (2): 共 9 種
O 2相鄰角夾1邊(1), X 1中央 (3), 2角(1) 或 2邊(2)或 1角 1邊 (3): 共 9 種
O 2相鄰角和對邊(1), X 1中央 (3), 2角(1) 或 2邊(2)或 1角 1邊 (3): 共 9 種
O 2相鄰角和鄰邊(1), 沒對稱考量(C(6,2)=15): 共 15 種
O 2相對角和1邊(1), 沒對稱考量(C(6,2)=15): 共 15 種

2007-02-12 09:27:05 補充：
O 2相鄰邊夾1角(1), X 1中央 (3), 2角(2) 或 2邊(1)或 1角 1邊 (3): 共 9 種
O 2相鄰邊和對角(1), X 1中央 (3), 2角(2) 或 2邊(1)或 1角 1邊 (3): 共 9 種
O 2相鄰邊和鄰角(1), 沒對稱考量(C(6,2)=15): 共 15 種
O 2相對邊和1角(1), 沒對稱考量(C(6,2)=15): 共 15 種

2007-02-12 09:27:19 補充：
7. 放 6 子: ??? 種
8. 放 7 子: ??? 種
9. 放 8 子: ??? 種 以上三種請自行討論
10. 放 9 子: 已討論過 33 種

Answer 2

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Answer 5

版主的問題，類似遊戲樹的推導，但需要推導到棋盤全滿。
第一狀態是棋盤全空，另外計算。
下子的第一狀態是下一步O，又是一種狀態，所以下第一步的就有9種狀態。依序推論，得下子的狀態變化為9*8*7*6*5*4*3*2*1=9!。
故所有狀態為9!+1。