高中三角函數問題!?

Question

sin4A=cos2A，求sin平方2A+cos平方3A+tan平方4A=?

須有詳解

也可以用文字敘述

Answer 1

令 B = 2A　…　…　…　…　…　…　(0)
　sin(2B) = cos(B)　…　…　…　…　(1)

正弦二倍角公式
　sin(2B) = 2 sin(B) cos(B)　…　…　(2)

(2) 代入 (1)
　cos(B) = 2 sin(B) cos(B)
　2 sin(B) = cos(B) / cos(B) = 1
　sin(B) = 1/2
B = 30度…　…　…　(3)
(3) 代入 (0)
A = 15度

sin22A + cos23A + tan24A
= sin230 + cos245 + tan260
= (1/2)2 + (1/√2)2 + (√3)2
= 1/4 + 1/2 + 3
= 3 + 3/4
sin 二倍角公式：
sin x + sin x = sin(x) cos(x) + sin(x) cos(x)　和差化積
　　　　　= 2 sin(x) cos(x)


2007-02-05 23:28:17 補充：
這篇的二倍角公式證明不錯，可以看看
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25312.pdf

2007-02-06 10:24:27 補充：
不好意思，二倍角公式的證明我寫錯了！
現在心情不好，過一陣再寫正確的給你。

2007-02-07 08:25:19 補充：
心情不好也不能害你讀錯誤的答案！
所以，先告訴你那是錯的。

先用幾合證明給你看。

三角形面積 = 1/2 * 相鄰兩邊長的積 * sin(其夾角)　 → (1)
　　　　　 = 1/2 * 底 * 高。　　　　　　　　　　→ (2)

2007-02-07 08:25:25 補充：
所以，腰長 r、頂角為 2x 的等腰三角形面積 =
1/2 * r * r * sin 2x (由 (1) )
它的底為 2 * r * sin x，高為 r * cos x　（要圖比較好懂）
所以，它的面積也 =
1/2 ( 2 * r * sin x ) * ( r * cos x) (由 (2) )

所以，r * r * sin 2x = ( 2 * r * sin x ) * ( r * cos x)
兩邊消去 r * r 得到
sin 2x = 2 sin x * cos x

2007-02-07 08:35:05 補充：
積化和差
　sin x * cos x = 1/2 [ sin (x x) sin (x - x) ]
2 sin x * cos x = 　 [ sin (2x) sin 0 ]
　　　　　　 = sin (2x)

2007-02-07 08:37:08 補充：
忘了寫：積化和差是代數的證明法。

2007-02-11 11:59:22 補充：
竟忘了 check boundry!!
cos2A = sin4A = 0

Answer 2

sin4A=cos2A

移項得
sin4A-cos2A=0
因為 sin4A = 2* sin2A * cos2A
所以 2* sin2A * cos2A -cos2A = 0
整理得 cos2A * (2 * sin2A -1 ) =0
所以 cos2A = 0 或 sin2A = 1/2
所以 A = 45度 or 15度 (只考慮角A介於0~180度間)

A=15度時, 所求為 (sin30度)^2 + (cos45度)^2 + (tan60度)^2
=1/4+1/2+3
=3又3/4
= 3.75
A=45度時, 所求為 (sin90度)^2 + (cos135度)^2 +(tan180度)^2
= 1 + 1/2 + 0
= 1 又 1/2
= 1.5

所以答案為 1.5 或 3.75