導數不存在怎判斷?

Question

這個問題困惱小弟很久了

上網查是說左右導數要相同

有沒有高手可以用題目舉例一下

再補充一題...

屠龍寶刀p.148

f(x)=x^2/3

導數是

f'(x)=(2/3)x^-1/3

這題圖形是尖點

屠龍寶刀說是因為切線垂直

所以導數不存在

有沒有高手可以畫圖或是講白一點

thx

Answer 1

左右導數要相同 => "左逼近的導數" 要等於 "右逼近的導數"
以 f(x)=x2/3 為例
f'(x) = (2/3)x-1/3
f'(0+) > 0 -> + oo (趨近 正 無限大)
f'(0-) < 0 -> - oo (趨近 負 無限大)
由定義來看 左右導數不同 => 所以沒有導數
由圖形來看 f 在 0 點的切線 (導數就是切線斜率)
是鉛直線 所以沒有導數
另外一例
f(x) = { x; 當 x >= 0
{ -x; 當 x < 0
這是一個 V 字形的圖 最低點在原點
f'(x) = { 1; 當 x >= 0
{ -1; 當 x < 0
=>
f'(0+) = 1
f'(0-) = -1
左右導數不同 => 所以沒有導數
(因為你不知道要定義 f(0) = 1 or -1)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.