數學證明題兩題

Question

1.設a,b是有理數，a 證明：(a+根號2b)/1+根號2 是介於a,b之間的無理數
2.設a,b,c均為非負的實數，
試證a+b+c>=根號ab+根號bc+根號ca

請各位大大幫忙，謝謝！

更正
第一題是根號2乘以b(b在外面)

謝謝你的回答
想請問
a 0
這一行是什麼意思啊

什麼是歌西不等式

Answer 1

(a + b√2)/(1+√2)
= (a + b√2)(√2-1)/(1+√2)(√2-1)
= a√2 + 2b - a - b√2
= 2b - a + √2(a-b)
因為 a 0 => 此為無理數

2b - a + √2(a-b) - a
= 2(b - a) + √2(a-b)
= (b-a)(2-√2)
> 0
=> 2b - a + √2(a-b) > a

2b - a + √2(a-b) - b
= b - a + √2(a-b)
= (b-a)(1-√2)
< 0
=> 2b - a + √2(a-b) < b
所以 a < (a + b√2)/(1+√2) < b
2. 用 歌西不等式
(√a*√b + √b*√c + √c*√a)2
<= [(√a)2+(√b)2+(√c)2][(√b)2+(√c)2+(√a)2]
= (a+b+c)(b+c+a)
= (a+b+c)2
因為 a, b, c >0 兩邊直接開根號
=> √(ab) + √(bc) + √(ac) <= a + b + c
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.