高手幫忙解一下數學題目!!20點

Question

1.試證:不論n是任何正整數,１０的ｎ次方＋３Ｘ４的ｎ次方＋５都可以被９整除？？

２．試證１／１ｘ２ｘ３＋１／２ｘ３ｘ４＋１／３ｘ４ｘ５＋．．．．．．＋１／ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝１／４－１／２（ｎ＋１）（ｎ＋２）

３．設ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙ均為正有理數且ａ＞ｂ，ｘ＞ｙ，是比較下列兩組的大小
（１）ａ／ｂ，ａ＋ｘ／ｂ＋ｘ，ａ＋ｙ／ｂ＋ｙ
（２）ｂ／ａ，ｂ＋ｘ／ａ＋ｘ，ｂ＋ｙ／ａ＋ｙ

４．我國農曆以天干（甲．乙．丙．丁．戊．己．庚．辛．壬．癸），地支（子．丑．寅．卯．辰．巳．午．未．申．酉．戌．亥）記年，即甲子．乙丑．丙寅．．．．．癸酉．甲戌．乙亥．．．．癸未．甲申．．．．ｏ以６０年為一週期，俗稱一甲子ｏ問：民國１００的農曆紀年是什麼？（以知名國６８年是農曆巳未年）

５．某人借錢２１０元，一月後還清１２１元，在一月後又還了１２１元，才將本立還清，求月利率為？？

Answer 1

1. 測九的倍數 => 測各數字的總和
10n 的各數字的總和 = 1
3*4n = 3*(3+1)n = 3* [3n + C(n,1)3n-1 + C(n,2)3n-2 + ... + C(n,n-1)3 + 1]
= 3*[3*k + 1], k 為正整數
= 9k + 3
所以 3*4n 的數字的總和 在去掉 9 的倍數後剩下 3
1 + 3 + 5 = 9
10n + 3*4n + 5 的各數字的總和在去掉 9 的倍數後剩下 9
所以可以被９整除
2. 1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + ... + 1/[n*(n+1)*(n+2)]
= (1/2){ [1/(1*2)-1/(2*3)] + [1/(2*3) - 1/(3*4)] + [1/(3*4) - 1/(4*5)]
+ ... + [1/[n*(n+1)] - 1/[(n+1)*(n+2)]]}
= (1/2){ 1/2 - 1/[(n+1)(n+2)]}
= 1/4 - 1/[2(n+1)(n+2)]
3. a>b>0, x>y>0
(a+y)/(b+y) - a/b
= (ab+by-ab-ay)/[b(b+y)]
= y(b-a)/(b2+by)
< 0
=> (a+y)/(b+y) < a/b
(a+x)/(b+x) - (a+y)/(b+y)
= (ab+bx+ay+xy-ab-ax-by-xy)/[(b+x)(b+y)]
= [x(b-a)-y(b-a)]/[(b+x)(b+y)]
= [(b-a)(x-y)]/[(b+x)(b+y)]
< 0
=> (a+x)/(b+x) < (a+y)/(b+y)
=> a/b > (a+y)/(b+y) > (a+x)/(b+x)
仿上法可得 b/a < (b+y)/(a+y) < (b+x)/(a+x)
結論:
真分數 (b/a) 的分子分母同時加一個正數
其值越加越大 最後趨近於 1
假分數 (a/b) 的分子分母同時加一個正數
其值越加越小 最後趨近於 1
4. 民國 68年 到民國 100年 是 32年後
天干是 3 輪又 2 年 所以是 辛
地支是 2 輪又 8 年 所以是 卯
所以民國 100年 是 辛卯年
5. 設 月利率為 r
則 210(1+r)2 = 121(1+r) + 121
210(1+r)2 - 121(1+r) - 121 = 0
用公式得 1+r = {121 +- √[(-121)2 - 4*210*(-121)]}/(2*210)
= (121 +- 341)/420 (負不合)
= 1.1
=> r = 0.1 = 10%
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

上面那位數學老師真厲害阿= =||