高二極值問題

Question

設一直角三角形之周界為一定長,問在何種情況下則其斜邊最短.

Answer 1

設三角形之三邊為 a、b和c，而其中c為斜邊。
由於周界為一定長，設為 k [常數]，即 a + b + c = k ----- (1)
a2 + b2 = c2 --- (2)
由 (1) 得 a=k-c-b 代入 (2) 得 (k-c-b)2 + b2 = c2
k2 - 2k(c+b) + (c+b)2 + b2 = c2
2b2+k2 -2kb = 2kc - 2bc
4b - 2k = 2k(dc/db) - 2b
(6b-2k) / 2k = dc/db
4 = (2k)d2c/db2
d2c/db2 = 2/k >0 所以當(dc/db)=0時為極小值。
(dc/db)=0 即 (6b-2k) / 2k = 0 即 b = k/3
以 b = k/3 代入 a = k - c - b 得 a = (2/3)k - c
代入 (2) 得 (2/3k - c)2 + (k/3)2 = c2
解得 c = (5/12)k