雙(!!)階層(factorial)與單階層之關係為何?

Question

1.在matlab中如何算實數(real)雙(!!)階層(factorial)?
例如:0.76029!!=?
2.雙(!!)階層(factorial)與單(!)階層(factorial)之關係為何?
3.
0.48837!!=?
0.48837!=?

請教我如何求?我想要學會方法 .

Answer 1

N 天沒人回答，我只好獻醜了！
0! = 1 (定義)
1! = 1 = 1 = 0! * 1
2! = 2 = 1 * 2 = 1! * 2
3! = 6 = 1 * 2 * 3 = 2! * 3
4! = 24 = 1 * 2 * 3 * 4 = 3! * 4
n! = (n-1)! * n
正數階乘定義如下：
Γ(r)=∫0 ∞ (t r-1e-t )dt
因為　n! = n (n-1)!
而
　Γ(r+1) = r Γ(r)，且Γ(1)=1
所以，Γ(r+1) = r!
所以，
　(n+1/2)! = √(π) * Πk=[0,n](2k+1)/2　…　…　(1)
如：3.5! = √(π) * 1/2 * 3/2 * 5/2 * 7/2 ≒ 11.631728396567448929144224109426
雙階乘(!!)基本定義如下：
　0!! = 1 (定義)
　1!! = 1 (定義)
　n!! = (n-2)!! * n　…　…　(2)
所以，
2!! = 0!! * 2 = 2
3!! = 1!! * 3 = 3
4!! = 2!! * 4 = 8
5!! = 3!! * 5 = 15
6!! = 4!! * 6 = 48
7!! = 5!! * 7 = 105
8!! = 6!! * 8 = 384
非整數階乘定義如下：

負數雙階乘的定義如下：
(n-2)!! = n!! / n　（註：由 (2) 式移項而來）
-1!! = 1!! / 1 = 1
-3!! = -1!! / -1 = 1 / -1 = -1
-5!! = -3!! / -3 = -1 / -3 = 1/3
而
-2!! = 0!! / 0 = 1 / 0 =
-4!! = -2!! / -2 = ∞ / -2 = ∞
所以，負偶數的雙階乘是∞
雙階乘也可由階乘來定義：
n! = n!! (n-1)!!　　　　　　　　　 　 （這個看得懂吧！）
(2n)!! = 2nn!　　　　　　　　　　 　 （這個有用囉！）　…　…　(3)
(2n+1)!! = (2n+1)! / (2n)!! = (2n+1)! / 2nn!（這個和(3)就可算出所有的了！）　…　…　(4)
因為階乘可算實數(1)，所以，用(3)和(4)就可算出非整數的雙階乘。
MatLab 內建的階乘只適用於非負整數（階乘的最基本定義）。
超過這個定義的，可能都要自己寫。
0.48837! ≒ 0.88590710771387380375418909708111
以下純個人亂猜：
圖片參考：http://tw.yimg.com/i/tw/blog/smiley/8.gif

0.48837!! = 2(0.48837 / 2) * 0.48837!
≒ 1.1844234833786596720635438872361 * 0.88590710771387380375418909708111
≒ 1.0492891824683798729506932319386
0.76029!! = 2(0.76029 / 2) * 0.76029!
≒ 1.3014726551234385808542097775527 * 0.92144307504135716660341024367963
≒ 1.1992329654191809719436619159729

2007-02-02 00:10:01 補充：
亂猜根據：公式 (3)

問：為何不用公式 (4)？
答：公式 (4)較麻煩，懶得用！

2007-02-02 15:09:45 補充：
實數階乘的matlab程式，在你問的另一題
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607012501826
裡，有人已經回答。所以，從略。

2007-02-27 21:16:30 補充：
來信問到 5 題，由於過忙，只能慢慢的寫，只舉例說明，就不證明了
3.1 n! = n!! ( n-1)!!
設 n = 8，則是
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
8!! = 8 * 6 * 4 * 2
7!! = 7 * 5 * 3 * 1
所以
8! = 8!! * 7!!

3.2 (2n)!! = 2^n * n!
設 n = 4, 則是
8!! = 2^4 * 8!
16 * 4 * 3 * 2 * 1
= 2 * 4 * 2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 1
= 8 * 6 * 4 * 2
= 8!!

2007-02-27 21:27:24 補充：
因為 ! 已在 (1) 定義為實數範圍，
所以，若能把 !! 只用 ! 算出，那就能把 !! 也定義到實數範圍去。

上一個（就是 (3)）已經只用 ! 算出偶數的 !!，
再來這個（就是 (4)）想只用 ! 算出奇數的 !!。

(2n+1)!! = (2n+1)! / (2n)!!　（這個不好，有 !!，用 (3)，把!!換掉）
　 　 　= (2n+1)! / (2^n*n!)

2007-02-27 21:28:47 補充：
設 n = 4, 則
9!! = 9! / 8 !! = 9! / (2^4 * 4!)
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
8!! = 8 * 6 * 4 * 2
9! / 8!! = 9 * 7 * 5 * 3 * 1 = 9!! 沒錯耶！
只是，8!! 要用 (3) 去算，才能達到不用 !! 算 !! 的目的。
（8!! 用 ! 的算法已在上例列出。）

2007-02-27 21:50:01 補充：
2. 非整數階乘的定義：
　負的不詳，0! 定義為 1，正實數定義已在正文回答過，解釋如下：

正數階乘定義如下：
Γ(r)=∫0 ∞ (t r-1e-t )dt
因為　n! = n (n-1)!
而
　Γ(r+1) = r Γ(r)，且Γ(1)=1
所以，Γ(r+1) = r!

就是正實數階乘定義的由來。
寫成看得比較習慣的寫法：
r! = Γ(r+1)

2007-02-27 21:54:52 補充：
1.
3.6 ! = 13.3812858709324493552745220941
3.85! = 19.195079471266412402046621898565
算法：根據 r! = Γ(r+1)
3.6 ! = Γ(3.6 +1) = Γ(4.6 )
3.85! = Γ(3.85+1) = Γ(4.85)