Dada a função f(x)= Kx²+8Kx+12K+4, qual é a solução para os valores de K para que a f(x) assuma valores?

Question

positivos para todo x rea?

Peço demonstração de calculos
Obrigado

Answer 1

1 Se f"(x)<0 então é um ponto de máximo para a função f. (concavidade para baixo)

2 Se f"(x)>0 então é um ponto de mínimo para a função f. (concavidade para cima).

portanto para que f(x) >0 p/ todo x real a concavidade da parábola deve estar para cima logo f''(x) >0

f'(x) = 2Kx + 8K

f''(x) = 2K , como f''(x)>0 -------, temos 2K> 0 , logo K>0

como f(x)>0 então o ponto de mínimo deve estar sobre o eixo X.

f'(x) = 0 = 2Kx + 8K -------- X= -4

logo para X= -4 f(x)=0.

para f(x) maior que zero neste ponto de mínimo:
K16 - 32K + 12K + 4 >0
-4K + 4 > 0
-4K > -4 ....(-1)
4K < 4
k < 1


logo 0 < K < 1 para f(x) > 0 ........

Answer 2

Como esta é a equação de uma parabola, para que ela seja sempre positiva, seu ponto de minimo deve ser maior igual a zero.

Para determinarmos o ponto de mínimo derivamos a equação considerando k uma constante.

f'(x) = 2Kx + 8K [ f'(x) = Derivada primeira de f(x) ]

igualando a zero

2Kx + 8K = 0

x = -4

Agora substituindo o valor de x na equação original e forçando o resultado a ser >= 0 temos:

K(4)² + 8K(-4) + 12k + 4 >= 0

16K - 32K + 12K + 4 >= 0

28K - 32K >= -4

-4K >= -4

K >= 1

O que é corroborado pelo fato de que a derivada segunda de uma parábola com concavidade para cima ser maior igual a zero.

Para k = 1 por exemplo

f''(x) = 2 [ f''(x) = Derivada segunda de f(x) ]


K = 0 também é solução, só que daí não se trata de uma equação do segundo grau