Como uma geódesica pode ser o caminho mais curto entro dois pontos?

Question

E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria.

a frase foi retirada de: http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_geral
e encontra-se no tópico de Curvatura espaço-tempo, após as imagens de uma Geodésica e da deformação causada por uma massa.

Answer 1

Somente complementando e simplificando as respostas acima que estão muito boas eu falo:

Esse princípio que você falou é chamado de princípio da ortodromia, muito usado em mapas do globo, planos que tentam representar a esfera terrestre - os exemplos mais comuns são as projeções cilindricas (comuns nos mapa mundi) de Mercator e Peters (menos conhecido).

Nas projeções de mercator, as áreas não são fiéis ao "original", somente a forma dos países se mantém (veja que a pequenina Groenlandia é quase do tomanho do Brasil no mapa mundi). Dessa maneira, a menor distância entre dois pontos é uma curva com raio do tamanho do raio terrestre.

Pesquise ortodromia no google e seja feliz :)

Answer 2

A geodésica é, por definição, o caminho mais curto em um espaço geométrico. Se esse espaço for um plano, a geodésica é uma reta. Se esse espaço for a superfície de uma esfera, a geodésica é um círculo máximo. Se esse espaço for uma superfície cilíndrica, a geodésica pode ser uma hélice, uma circunferência ou uma reta, dependendo do caso.

Imagine duas cidades da Terra, separadas por dez mil quilômetros. Essa medida é feita sobre a geodésica, que caminha pela superfície da Terra. Não existe a possibilidade prática de cavarmos um túnel reto que ligue as duas cidades, por baixo do solo, a fim de que possamos ir de uma à outra andando menos.

No espaço-tempo, de quatro dimensões, a linha de menor "distância" (intervalo) entre dois pontos (eventos) é uma geodésica que depende da forma desse espaço matemático. Onde há massa, há gravidade, que deforma o espaço-tempo. Por isso a geodésica depende do campo gravitacional.

O espaço-tempo, além de quadridimensional, é curvo (não euclidiano). Para conter sua estranha forma, necessitamos de um espaço de cinco dimensões. Se você escolher dois eventos do espaço-tempo, você pode ligá-los por uma reta que atravessa aquele espaço de cinco dimensões e ela vai passar por pontos que estão fora do espaço-tempo. Mas a geodésica é um caminho que deve estar inteiramente contido no espaço-tempo e não pode abrir túneis por fora (pesquise sobre buracos de minhoca).
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Answer 3

Uma geodésica é uma linha sobre a superfície da Terra (geo= Terra) contida num plano que passa pelo centro da Terra, logo perpendicular a esta superfície em todos os pontos.
A menor distancia entre dois pontos na superfície da Terra (duas cidades por exemplo) é a intercecção do plano do circulo máximo que passa por estes dois pontos e a superfície da Terra.