牛頓是如何推得F=ma

Question

我想問一個很白痴的問題，
但我真的很想知道，
請告訴我吧~~

為什麼 F=ma!!!!!!!!!!!!!!
F=ma F=ma F=ma F=ma，
我只知道是牛頓第二定律的公式，
我真的很想知道它是如何推得的。

微分我可以明白。

哪 動量P=質量m乘上速度v

這又是如何來的呢?

衝量也是，

哪些公式都如何推得的，

可以告訴我嗎?

不然只是讓我更疑惑而已。J

Answer 1

多早期關於動力學的觀念，在1590年伽利略以實驗去研究單擺和落體運動後都被推翻了。這些實驗的結論對於力作用於運動中物體的效應有進一步的了解。然而，一直到1687年牛頓 (Isaac Newton) 發表質點運動的三個基本定律前，力對於物體運動的一般定律都尚未明瞭。經稍微修改，牛頓的三個運動定律可說明如下：

第一定律 一開始為靜止或以定速作直線運動的物體，如果不受到不平衡力的作用，將會保持原來的狀態。
第二定律 一個受不平衡力F作用的質點，會得到與力的方向相同，且大小與作用力成正比的加速度a。
第三定律 兩質點間的作用力和反作用力，大小相等、方向相反、且作用在同一直線上。

第一和第三定律被大量用於靜力學關念的發展。雖然此二定律在動力學中也有應用，由於牛頓第二運動定律是建立質點的加速運動和作用於其上的力之間的關係，此定律為本章絕大部分研究的基礎。也要注意靜力學為動力學的特例，因為在合力為零時牛頓第二定律即導致其第一定律的結果；亦即沒有加速度產生，因此質點的速度保持常數。

在實驗室裏，力和加速度的量測都可以記錄下來，因此由第二定律，如果有一已知的不平衡力F1作用於一質點上，可以量得加速度a1。因為力和加速度成正比，比例常數m可以由比例m = F1/a1決定。假設單位一致，一個不相同的不平衡力F2也作用於其上，將導致加速度a2，且F2/a2 = m。在兩個情況其比例將會一樣，而且力和加速度兩個向量的方向相同。此正數m稱為質點的質量 (mass)。因為在任何加速的情況都為定值，m為質點阻止速度改變的傾向之定量描述。

如果質點的質量為m，牛頓第二運動定律可以寫成如下的數學式
F = ma
稱為運動方程式 (equation of motion)，是力學中最重要的公式之一。如上所述，它的有效性純粹基於實驗證據。然而，在1905年愛因斯坦 (Albert Einstein) 發展了相對論，限制牛頓第二運動定律描述所有質點運動的可能性。由實驗已經證實時間並非如牛頓假設的是個絕對量。因此，運動方程式不足以預測質點的真實行為，特別是質點的速率接近光速 (0.3 Gm/s)時。Erwin Schrodinger及其它研究人員在量子力學上的發展也進一步顯示由此方程式得出的結論亦不適用於質點運動範圍小至原子間距離以內的情況。然而，在大部分的情況之下，這些關於質點的速率和尺寸的條件在工程問題裡並不存在，因此本書不考慮這些效應。
http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Dynamics/ch13/13-1.htm

Answer 2

這個阿!!要從微分來推得的

F=dp/dt=d(mv)/dt=m*(dv/dt)=ma啦!!(照你這樣問,你應該還沒大學吧!!)

我是物理系的學生,這當中的式子我來位你解釋一下好了!!
這樣你會比較清楚!!

F指的是力
m指的為質量
a是加速度

要先從F(也就是力)它相當於P(動量)不曉得你知道嗎?另外,有一個是J(衝量)

(動量)P它的定義是質量乘上速度(是內積)--->即 p=m*v
(衝量)J為力與時間的內積了--->即 J=f*t
而衝量會等於動量的變化量---->即 J=delta P

力會等於所產生的動量在某一時間當中的微分值
所以寫作F=dp/dt

接著動量P=質量m乘上速度v
所以改為F=d(mv)/dt
再將m提到前面
變成F=m*(dv/dt)
而 dv/dt就是速度的微分為加速度--->即 a
就形成F=ma啦
至於衝量它會跟動量有關,因為一但出現動量時基本上都會有改變
就有了變化--->回到定義的動量改變量為衝量了!!總之,就是密不可分的關係!!

2007-01-24 11:16:53 補充：
只要是一個物體它在移動時,就會產生速度!!!
而動量就是兩者的乘積!!
這是動量最原來的定義!!

至於,衝量就是動量所產生的變化量!!它的定義是力與時間的乘積

公式如下:
p(動量),m(質量),v(速度)----->p=m*v
j(衝量),f(作用力),t(時間)----->j=f*t

註:這些公式均為定義的,所以不用經由其他的式子來推導!!
這樣你應該清楚了吧!!
如果你還是不清楚,可以請教物理老師ㄚ!!他應該會很熱心教你的!!

Answer 3

物體有慣性──不受力狀況下，靜者恆靜，動著恆以初始速度橫動。做實驗時，可以用同樣的力（例如用同樣的彈簧，拉伸同樣長度）來改變不同「重量」物體的運動狀態。（重量，在牛頓之前就已經有定義，而且，在相同重力場中，質量＝重量）結果發現，作用相同的力，對不同「重量」的物體產生的加速度，有以個比例關係。而這個比例，就是「重量」。越「重」的物質，產生的加速度越小。引此有了F=ma的式子。而「重量」（後來進一步定義的「質量」），本身就代表著慣性的大小。質量越大，慣性越大，同樣的施力，產生的加速度越小（越能保持其『慣性』）。當然質量，在天平的測量下，就是質量。但是若用彈簧秤，在月球上測到的重量，和在地球上測到的重量就不一樣。

Answer 4

我是機械系的學生
F = dp/dt = d(mv)/dt = m(dv/dt) + v(dm/dt) = m‧a + v(dm/dt)
大部分情況m不隨時間改變
故推導成F=ma
另外J=Fdt
如有錯誤請多指教

Answer 5

建議
這個問題就好像你在問 X=V*T
其實有很多的自然定律都是
從我們的經驗中得到的，有很多東西
可能要自己體會才會對它有感覺