Como se chega a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico?

Answer 1

Curiosamente, a pergunta parece ter sido modificada.

Agora:"Como se chega a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico?"

Antes:"Quais os limites da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico?"

==== ==== ==== Nova Resposta ==== ==== ====
A fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico:

     A+B+C = π + Δ/R²
     onde Δ é sua área e R o raio da esfera

é uma simples manipulação algébrica da fórmula Harriot-Euler para o cálculo da área de um triângulo esférico! A área de um triângulo esférico de ângulos A, B e C é dada por:

     Δ = R² [ (A+B+C) - π ] = R².E

onde E = (A+B+C) - π é o chamado excesso esférico. A demostração desta fórmula pode ser vista em:
http://planetmath.org/encyclopedia/AreaOfASphericalTriangle.html


==== ==== ==== Velha Resposta ==== ==== ====
Um triângulo esférico é obtido marcando-se três pontos quaisquer numa esfera e ligando-os dois a dois com arcos de círculos máximos.

Observe que, para cada 3 pontos, dois triângulos são traçados: um "interno" e um "externo". Metade da esfera é o triângulo esférico interno de maior área possível, pois, a partir daí, ele se torna um triângulo esférico externo.

A área de um triângulo esférico de ângulos A, B e C é dada por:

     Δ = R² [ (A+B+C) - π ] = R².E

onde E = (A+B+C) - π é o chamado excesso esférico.

Para calcular os limites da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico, basta utilizar a fórmula da área da superfície da esfera e da semi-esfera:

    Aesfera = 4πR²
    Asemi-esfera = 2πR²

== Para um triângulo esférico interno ==
Mínimo:
Δ = 0 → E = 0 → (A+B+C) - π = 0 → (A+B+C) = π
Máximo:
Δ = 2πR² → E = 2π → (A+B+C) - π = 2π → (A+B+C) = 3π


== Para um triângulo esférico externo ==
Mínimo:
Δ = 2πR² → E = 2π → (A+B+C) - π = 2π → (A+B+C) = 3π
Máximo:
Δ = 4πR² → E = 4π → (A+B+C) - π = 4π → (A+B+C) = 5π

Assim os limites são:
Para um triângulo esférico interno, a soma dos ângulos varia de π a 3π (180° a 540°) e para um triângulo esférico externo, a soma dos ângulos varia de 3π a 5π (540° a 900°).
 
 

Answer 2

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_esf%C3%A9rico

Answer 3

Triângulos esféricos:

Um triângulo esférico não é qualquer figura de três lados sobre a esfera; seus lados devem ser arcos de grandes círculos, ou seja, arcos esféricos. Denotamos os ângulos de um triângulo esférico por letras maiúsculas (A,B,C), e os seus lados por letras minúsculas (a,b,c).

Propriedades dos triângulos esféricos

1) A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que 180 graus, e menor do que 540 graus, e não é constante, dependendo do triângulo. De fato, o excesso a 180 graus é diretamente proporcional à área do triângulo.

2) A soma dos lados de um triângulos esférico é maior do que zero e menor do que 180 graus.

3) Os lados maiore estão opostos aos ângulos maiores no triângulo.

4) A soma de dois lados do triângulo é sempre maior do que o terceiro lado, e a diferença é sempre menor.

5) Cada um dos lados do triângulo é menor do que 180 graus, e isso se aplica também aos ângulos.

Solução de triângulos esféricos:

Ao contrário da trigonometria plana, não é suficiente conhecer dois ângulos para resolver o triângulo. É sempre necessário conhecer no mínimo três elementos: ou três ângulos, ou três lados, ou dois lados e um ângulo, ou um ângulo e dois lados.

seno a / seno A = seno b / seno B = seno c / seno C

Answer 4

Triângulo é uma figura geométrica plana de 3 ângulos. Portanto , não pode ser esférico até onde sei.
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