Quanto será o comprimento dos catetos dos triâmgulos?

Question

Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isóceles nos vértices de um quadrado.Se o lado do quadrado é 1, o comprimento dos catetos dos triângulos é igual a quanto?

Answer 1

Se o octógono é regular, os lados dele são iguais. Se você dividir o lado do quadrado, você deduz que ele é formado por dois catetos e uma hipotenusa (os lados do octógono são iguais). Logo, temos que:

h²=x²+x² onde h é a hipotenusa e x é o cateto...

Desenvolvendo, temos h²=2x² => h=x² . raiz de 2

Portanto, se x + x + h = 1, temos:
x + x + x . raiz de 2 = 1 => 2x+x . raiz de 2 = 1 (colocando x em evidencia) => x (2 + raiz de 2) = 1 => x=1/(2+raiz de 2)
Multiplicando o numerador e o denominador por (2-raiz de 2), temos:

x=1 . (2-raiz de 2) / (2 + raiz de 2) . (2 - raiz de 2)
x = (2-raiz de 2) / 2²-2

x= (2-raiz de 2)/2

Answer 2

Chamemos de "x" cada um dos catetos do triângulo isósceles - pois, para que a figura seja um octógono regular, eles terão que ter o mesmo valor.

Chamemos de "L" o lado do octógono. Analisando um dos lados desse octógono (e considerando que o lado do quadrado dado é seja igual a 1), teremos a seguinte equação:

1 - 2.x = L (i)

Utilizando o teorema de pitágoras nos triângulos isósceles formados devido ao corte dos vértices, teremos outra equação:
x² + x² = L²
2.x² = L²
L = sqr(2.x²)
L = x.sqr(2) (ii)

Obs: sqr = raiz quadrada de...
sqr(2) = 1,414 (aproximadamente).

Daí, para se encontrar o valor de "x", basta igualarmos (i) e (ii), a fim de resolver o sistema de equações gerado:
x . sqr(2) = 1 - 2.x
x . sqr(2) + 2.x = 1
x . (sqr(2) + 2) = 1
x . 3,414 = 1
x = 0,318 (aproximadamente).


Espero ter ajudado...

Answer 3

Octógono regular (lados iguais)
Como o triangulo é retângulo isóscele (dois catetos iguais)
X = lado do octogono = hipotenusa do triangulo ret . isósceles
(1-X)/2 = cateto do triângulo ret. isósceles.

Teorema de Pitágoras

((1-X)/2)² + ((1-X)/2)² = X² ---------- 2((1-X)/2)² ) = X² ----- X =√2 -1

cateto = (1-X)/2 ----- cateto = (2 -√2)/2

Answer 4

Bem...

O lado do quadrado foi dividido em três partes. Duas correspondem aos catetos dos triângulos (em cada lado do quadrado são formados catetos de dois triângulos). O restante equivale à hipotenusa (o octógono é regular).

Chamando o cateto de x e a hipotenusa de y, temos:

2x+y=1
y^2=x^2+x^2, ou seja, y^2=2x^2

Você encontrará os valores (2+raiz de 2)/2 e (2-raiz de 2)/2 como soluções desse sistema, ok?

É só resolvê-lo através do método da substituição.

Um abração!

Answer 5

É 1, pois cada cateto só terá um comprimento, assim como qualquer outra coisa, pois nada possui mais que um comprimento.

Answer 6

DEPENDE DO TAMANHO DOS CATETOS