Woher kommt es, dass man Wurzeln mit Bruch-Hochzahlen anschreibt?

Question

Ein Relikt aus meinem Schulwissen... aber verstanden hab ichs nie

Answer 1

Eine berühmte Funktion der Analysis ist die Exponentialfunktion exp(x). Sie wird über eine unendliche Reihe definiert, was hier aber nicht weiter wichtig ist. Diese Funktion hat die Eigenschaften
exp(x+y) = exp(x)*exp(y)
für beliebiege x,y und
exp(n)=e^n
wobei e die Eulersche Zahl (sinnigerweise definiert als exp(1)) darstellt und n eine beliebige natürliche Zahl. exp beschreibt also bei natürlichen Zahlen das gewöhnliche Potenzieren von e und liefert für nicht-natürliche Zahlen geeignete "Zwischenwerte" (Interpolation). Daher ist es sinvoll e^x:=exp(x) für beliebige reelle Zahlen (z.B. Brüche) zu definieren, wenn man sich schon dafür entschieden hat e*e*..*e als e^n zu schreiben.
Nun gilt aber
(e^(1/2))^2 = exp(1/2)*exp(1/2) = exp(1/2+1/2) = exp(1) = e,
also muß e^(1/2) dann gleich Wurzel(e) sein (dass es tat. die positive Wuzel ist folgt aus der Def. von exp). Mit einem Kniff (Logarithmus) lässt für beliebige pos. Zahlen a eine Funktion exp_a(x) mit entsprechenden Eigenschaften definieren. Und a^x ist eben die Kurzschreibweise für diese Funktion.
Letzlich sind Brüche (oder bel. reelle Zahlen) als Potenzen also eine Notation, motiviert von der Exponetialfunktion, die sich hervorragend mit den Rechenregeln vom Potenzieren und Wurzelziehen vertägt.
Übrigens: Die Konvention a^(-n):= 1/(a^n) lässt sich ebenso erklären.

Answer 2

Ganz einfach weil es genau das ist:
²√ x ist nichts anderes als x^½.
Und mit der darstellung als potenz lässt sich viel leicheter rechnen. Bsp:
(²√ x)² = (x^½)² = x^(2/2) = x^1 = x

Answer 3

Im Prinzip ist es egal - aber wenn Du umformen musst und/oder eine Gleichung lösen, ist es übersichtlicher, wenn Du nur Hochzahlen hast und keine Wurzeln.

Answer 4

ich weiß nich genau was du meinst , aber wahrscheinlih das , das "wurzel 2" = 2^1/2 is.. also ich glaub schon , das das ein relikt is , dennn alles musste ja irgendwann entdeckt werden und daher wird das schon älter sein