Como se constrói um corpo de Galois - GF(2^n)?

Question

Gostaria de uma demonstração mais genérica, ou seja para qualquer n natural. Se puderem exemplificar com o GF(2^8) também ajuda. Obrigada.

Answer 1

O campo (ou corpo) de Galois GF(2) e suas extensões GF(2ⁿ) são importantes por causa de suas aplicações em criptografia, música etc.

Para a construção de GF(2ⁿ), siga os seguintes passos:
1) Eleja um polinômio p(x) de grau n irredutível em GF(2)
2) Para encontrar os elementos de GF(2ⁿ), calcule P(a)
    α^i ≡P(a) (mod p(x))
    para i = 0, 1, ... 2ⁿ - 2

O cálculo de GF(2^8) envolve calcular os restos de 255 divisões polinomiais !... Felizmente isto pode ser feito automaticamente, uma vez que o polinômio irredutível tenha sido eleito.

Com a ajuda da página:
http://jeans.studentenweb.org/study/tai/galois/galois.html
a tarefa fica facílima. Siga os seguintes passos:

1) Abra a página acima
2) Vá até o applet "Cyclyc Code Demo"
3) Entre os valores: p = 2; k = 8; n = 255
4) Clique no botão "Calculate" pequeno
5) Selecione uma das linhas (só uma!)
    Clique no "Calculate" grande
    Se o polinômio que aparece em "Generator" tiver x^8, OK!
    Repita o passo até OK!
6) Marque e copie (CTRL+C) o polinômio "Generator"
7) Vá até o applet "Extended Galois Field construction"
8) Entre os valores: p = 2; k = 8
9) Em p(x) cole o polinômio copiado em 6)
10) Substitua todos os "x" por "a"
11) Clique no 2° botão calculate
12) GF(2^8) aparece com todos os α^i calculados em "Powers of alpha", mas com a representação vetorial INVERTIDA. Não dá pra usar copiar e colar.

Nota:
Você editou a questão. Antes, você pedia para exemplificar com GF(8), ou seja, GF(2³) - por questão de clareza, esta última notação é preferível. Este dá pra listar, pois são só 8 linhas e só há 2 polinômios de grau 3 irredutíveis em GF(2) ... rs:

GF(2³) gerado com p(x) = 1 + a^2 + a^3 :
0 = 0 = 000
a^0 = 1 = 001
a^1 = a = 010
a^2 = a^2 = 100
a^3 = 1 + a^2 = 101
a^4 = 1 + a + a^2 = 111
a^5 = 1 + a = 011
a^6 = a + a^2 = 110

GF(2³) gerado com p(x) = 1 + a + a^3 :
0 = 0 = 000
a^0 = 1 = 001
a^1 = a = 010
a^2 = a^2 = 100
a^3 = 1 + a = 011
a^4 = a + a^2 = 110
a^5 = 1 + a + a^2 = 111
a^6 = 1 + a^2 = 101

Answer 2

É... Não tem como competir com a resposta acima, se bem que é impossível explicar isso em tão pouco espaço, imagino. Enfim, pra te falar a verdade, só ouvi falar sobre Corpos de Galois, mas não sei como se constróem, não. Em termos de Álgebra abstrata, eu conheço um pouco de Grupos, só... Mas já tive aulas com professores que iam te responder isso cantando no chuveiro.. rs