三角函數之微分問題

Question

請問sinX的平方、cosX的平方、secX的平方、cscX的平方、tanX的平方及cotX的平方之個別微分是多少，請詳細的解答...

請問威力貓
d/dx〔sec2(x)〕＝d/dx〔sec(x)．sec(x)〕
　　<∵d/dx〔sec(x)〕＝d/dx〔1/cos(x)〕>----- 此為何意？
d/dx〔sec(x)〕不是＝secX tanX ，煩請解釋..

Answer 1

一、d/dx〔sin2(x)〕＝d/dx〔(1/2)．(1-cos(2x))〕
　　　　　　　　＝d/dx（1/2）-(1/2)．d/dx（cos(2x)）
　　　　　　　　＝0-(1/2)．(-2sin(2x))
　　　　　　　　＝sin(2x)
　　　　　　　　＝2sin(x)cos(x)

二、d/dx〔cos2(x)〕＝d/dx〔(1/2)．(1+cos(2x))〕
　　　　　　　　＝d/dx(1/2)+(1/2)．d/dx〔cos(2x)〕
　　　　　　　　＝0+(1/2)．(-2sin(2x))
　　　　　　　　＝-sin(2x)
　　　　　　　　＝-2sin(x)cos(x)

三、d/dx〔sec2(x)〕＝d/dx〔sec(x)．sec(x)〕
　　∵d/dx〔sec(x)〕
　　＝d/dx〔1/cos(x)〕
　　＝sin(x)/cos2(x).......依據D(f/g)=〔gD(f)-fD(g)〕/g2
　　＝〔sin(x)/cos(x)〕．1/cos(x)
　　＝tan(x)sec(x)
　　∴d/dx〔sec(x)．sec(x)〕
　　＝2．d/dx(sec(x))．sec(x)
　　＝2．〔tan(x)sec(x)〕．sec(x)
　　＝2tan(x)sec2(x)

四、d/dx〔csc2(x)〕＝d/dx〔csc(x)．csc(x)〕
　　∵d/dx〔csc(x)〕
　　＝d/dx〔1/sin(x)〕
　　＝-cos(x)/sin2(x)
　　＝-〔cos(x)/sin(x)〕．(1/sin(x))
　　＝-cot(x)．csc(x)
　　∴d/dx〔csc(x)．csc(x)〕
　　＝2．d/dx〔csc(x)〕．csc(x)
　　＝2．〔-cot(x)．csc(x)〕．csc(x)
　　＝-2cot(x)csc2(x)

五、d/dx〔tan2(x)〕＝d/dx〔tan(x)．tan(x)〕
　　∵d/dx〔tan(x)〕
　　＝d/dx〔sin(x)/cos(x)〕
　　＝〔cos(x)．cos(x)-sin(x)．(-sin(x))〕/cos2(x)
　　＝1/cos2(x)
　　＝sec2(x)
　　∴d/dx〔tan(x)．tan(x)〕
　　＝2d/dx〔tan(x)〕．tan(x)
　　＝2sec2(x)tan(x)

六、d/dx〔cot2(x)〕＝d/dx〔cot(x)．cot(x)〕
　　∵d/dx〔cot(x)〕
　　＝d/dx〔cos(x)/sin(x)〕
　　＝〔(-sin(x))．sin(x)-cos(x)．cos(x)〕/sin2(x)
　　＝-1/sin2(x)
　　＝-csc2(x)
　　∴d/dx〔cot(x)．cot(x)〕
　　＝2d/dx〔cot(x)〕．cot(x)
　　＝-2csc2(x)cot(x)

2007-01-18 11:30:10 補充：
(五)跟(六)的內容,出現了∵的亂碼
我是要打[因為∵]

2007-01-19 06:40:27 補充：
d/dx〔sec(x)〕＝d/dx〔1/cos(x)〕>----- 此為何意？
解釋：
請參考這張圖：http://tw.pg.photos.yahoo.com/ph/cmackimo/detail?.dir=1856scd&.dnm=2400scd.jpg&.src=ph
你從圖中去找出關係式：
（一）灰色的區塊：
　　　1.sin^2(x) cos^2(x)=1
　　　2.tan^2(x) 1=sec^2(x)
　　　3.cot^2(x) 1=csc^2(x)

2007-01-19 06:40:34 補充：
（二）對角線關係：
　　　1.sin(x)和csc(x)互為倒函數（即1/sinx=cscx）
　　　2.tan(x)和cot(x)互為倒函數（即1/tanx=cotx）
　　　3.cos(x)和sec(x)互為倒函數（即1/cosx=secx）

2007-01-19 06:45:26 補充：
　d/dx〔sec(x)〕＝d/dx〔1/cos(x)〕
d/dx〔sec(x)〕不是＝secX tanX
解釋：
上述是在推導sec(x)微分的意義。
d/dx(secx)
=d/dx(1/cosx)
利用D(f/g)=(gDf-fDg)/g^2觀念：
所以d/dx(1/cosx)=sinx/cos^2(x)=(sinx/cosx)．(1/cosx)
其中(sinx/cosx)=tanx；1/cosx=secx
→得：d/dx(secx)=tanxsecx

2007-01-19 09:38:54 補充：
（一）灰色的區塊：
　　　1.sin^2(x)＋cos^2(x)=1
　　　2.tan^2(x)＋1=sec^2(x)
　　　3.cot^2(x)＋1=csc^2(x)

Answer 2

方便補充平方的?

Answer 3

sinX 微分 = cosX
cosX 微分 = -sinX
tanX 微分 = sec2X
cotX 微分 = -csc2X
secX 微分 = secXtanX
cscX 微分 = -cscXcotX
[f(x)]2 微分 = 2[f(x)]*f'(x)
sin2X 微分 = 2(sinX)cosX
cos2X 微分 = -2(cosX)sinX
tan2X 微分 = 2(tanX)sec2X
cot2X 微分 = -2(cotX)csc2X
sec2X 微分 = 2(secX)secXtanX
csc2X 微分 = -2(cscX)cscXcotX
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.