Uma das soluções da equação sen3x=senx é?

Answer 1

Tudo que eu resolver aqui envolve as seguintes fórmulas:
sen (a+b)= sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
cos (a+b)=cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)

Cálculo de sen(2x):
sen(x + x) = sen(x).cos(x) + sen(x).cos(x)
sen(2x) = 2.sen(x).cos(x)

Cálculo do cos(2x):
cos (x + x) = cos(x).cos(x) - sen(x).sen(x)
cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

Cálculo do sen(3x):
sen(2x + x) = sen(2x).cos(x) + sen(x).cos(2x)
sen(3x) = 2.sen(x).cos(x).cos(x) + senx[cos²(x) - sen²(x)]
sen(3x) = 2sen(x)cos²(x) + sen(x).cos²(x) - sen³(x)
sen(3x) = 3sen(x).cos²(x) - sen³(x)

Agora o seu cálculo:

sen(3x) = sen(x)
sen(3x) - sen(x) = 0
3sen(x).cos²(x) - sen³(x) - sen(x) = 0 Fator Comum
sen(x).[3cos²(x) - sen²(x) - 1] = 0

Dado: se a.b=0; ou a=0 ou b=0 - esse artifício é utilizado para resolver a questão, temos então:

sen(x) = 0 ----> x = 0 ou x = π (180°) ---> x = nπ (n E Z) -- expressão genérica.

ou então

3cos²(x) - sen²(x) - 1 = 0
3cos²(x) = sen²x + 1 ---> como sen²(x) + cos²(x) = 1; temos que cos²(x) = 1 - sen²(x) - lá em baixo eu vou usar isso -cos²(x) = -[1 - sen²(x)]

3cos²(x) = sen²(x) +1 - 1 + 1 Eu adicionei 1 e subtraí um, não muda a equação mas é algo interessante

3cos²(x) = -[1 - sen²(x)] + 2
3cos²(x) = -cos²(x) + 2
4cos²(x) = 2
cos²(x) = 1/2
cos(x) = ± √2 / 2 (leia raiz de dois dividido por 2)

então x = 45° ou 315° (para valor positivo do cos)
ou ainda x = 135° ou 225°(para valor negativo do cos)

a expressão genérica pode ser dada por:

x = π/2 + nπ (n E Z) ou x = 3π/2 + nπ (n E Z)

A resposta com x somente no primeiro quadrante é dada por:
S = { 0°; 45°; 135°; 180°; 225°; 315°}

Answer 2

Pi

Answer 3

zero