[急]有關三角函數的問題．．．．拜託一下！(20點)

Question

幫朋友問的．．自己想了兩小時想不出來>"<
一、△ABC，角A對應邊為a，角B對應邊為b，角C對應邊為c；已知a=8，b=6，角C等於60度。
求：
1、 AB線段長
2、 三角形ABC的面積
3、 外接圓的半徑
4、 內切圓的半徑
5、 cosA=？cosB=？cosC=？

二、已知(a+b):(b+c):(c+a)=7:8:9。
求：sinA:sinB:sinC=？

第一題三角形面積我想出來的算法是：
畫圖，c△(以A為左邊的角)，A是上面的角，經過A作高交於線段BC於D，經由畢氏定理可求出現段AD的長，就可以知道面積=(8*3√3)/2=12√3[(8* 3根號3 )/2]。這樣想對嗎？還是有更簡單的算法？

第一題題目打錯，b=3才對>"<
所以面積等於6√3

Answer 1

一. 你的想法沒錯 △ABC面積 = 6√3
同時 CD = 3/2, BD = 13/2 => AB = 7
簡單的算法是用一些公式
1. 餘弦定理: c2 = a2+b2-2ab*cos(c) = 9 + 64 - 48*(1/2) = 49 => AB = 7
2. 面積 = ab*sin(c)/2 = 3*8*[(√3)/2]/2 = 6√3
3. 正弦定理 c/sin(c) = 2R; R 為外接圓的半徑
=> 7/[(√3)/2] = 2R
=> R = (7√3) / 3
4. 內切圓的圓心到三邊等距離. 圓心到三頂點連線把三角形分成三部分
=> 面積 = (內切圓的半徑)*(a+b+c)/2
=> 6√3 = (內切圓的半徑)*(3+7+8)/2
=> 內切圓的半徑 = 2(√3)/3
5. 餘弦定理 cos(a) = (b2 + c2 - a2)/(2bc) = -1/7
cos(b) = (a2 + c2 - b2)/(2ac) = 13/14
cos(c) = cos(60) = 1/2
二 (a+b):(b+c):(c+a)=7:8:9
=> a+b = 7k; b+c = 8k; c+a = 9k
=> 2(a+b+c) = 24k => a+b+c = 12k
=> a = 4k; b = 3k; c = 5k
=> 正弦定理 sinA : sinB : sinC = a : b : c = 4k : 3k : 5k = 4 : 3 : 5
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

一.
1.用餘弦定理c2(平方)=a2+b2-2abCOSc
2.1/2*a*b*sinc
3.正弦定理c/sinc=2R
4.rs=三角形面積(s=周長的一半)
5.用餘弦定理就可以算出
二
令a+b=7x,b+c=8x,c+a=9x
三式相加2(a+b+c)=24x
即知a=4x,b=3x,c=5x
再由正弦定理即知
4x/sinA=3x/sinB=5x/sinC
所以sinA:sinB:sinC=4:3:5


第一題我只寫做法 因為用電腦不太好打