請問一下高手幾題數學問題!!

Question

1. 1+22+333+4444+.....+999999999 (1)被3除之餘數(2)被9除之餘數

2. 若甲=122333444455555666666777777788888888999999999,則甲的三次方除以11的餘數為何?

3. 介於4/7與6/13之間且分子是12的分數有幾個?

4. 甲=78964006 x 6914008 乙=78964008 x 6914006 丙= 78964005 x6914009丁=78964009 x 6914005 何者最大 何者最小?

5. a b c 為正整數 且b為a和c的比例中項,若a:(a+b):c=9:x:4 則x=?

6. 設xy+x=5且y二次+2y=19 則x:(y+1)=?

7. 設犬跑兩步的距離等於兔跳三步的距離且犬跑三步的時間等於兔跳四步的時間若犬跑a公尺則同時間內兔跳多少公尺?

Answer 1

1. 測試 3, 9 的倍數是看 "所有數字的總和是否為 3, 9 的倍數".
本題的每一項數字的和 剛好可以看成 n*n (n = 1 ... 9)
(1 = 1*1, 22 = 2*2, ..., 999999999 = 9*9)
所以 全部數字的總和 = 1*1 + 2*2 + ... + 9*9 = Sigma k2, k= 1 ... 9
(k = 1, ..., n; Sigma k = n(n+1)/2; Sigma k2 = n(n+1)(2n+1)/6; Sigma k3 = [n(n+1)/2]2)
= 9(9+1)(2*9+1)/6
= 285
=> 2+8+5 = 15 => 1+5 = 6
(1)被3除之餘數 = 0
(2)被9除之餘數 = 6
註: 本題因為數字不大, 若對 Sigma 公式不熟, 可以直接加.
若要直接加, 凡是遇到 9 的倍數就直接刪去不必加以節省時間.
2. 測試 11的倍數是看 "所有 (奇數項數字的總和) 和 (偶數項數字的總和) 的差 是否為 11 的倍數".
既然是差, 在計算過程中減去相同的數並不影響它們的差.
例如: 22 就可以看成 00 -> 然後當成沒有, 333 就可以看成 3.
所以原數就可以看成 13579.
=> (1+5+9)-(3+7) = 5 => 甲除以11的餘數 = 5
=> 甲3除以11的餘數 = 53 除以11的餘數 = 125 除以11的餘數 = 4
3. 介於4/7與6/13之間
4/7 = 12/21, 6/13 = 12/26, 介於之間 = 12/22, 12/23, 12/24, 12/25; 4個
4. 首先 注意到一件事: 四個乘積的前後兩數 祇在個位數不一樣, 而且兩數的和相等.
另外有一個性質: 周長相等的矩形以正方形的面積最大.
換成數字來說: 若兩數的和相等, 則兩數越接近時, 其乘積越大.
所以 本題祇要找兩數的差距就好.
=> 丙 > 甲 > 乙 > 丁
5. b為a和c的比例中項 => b2 = ac
a : (a+b) : c = 9 : x : 4 => a/9 = (a+b)/x = c/4 = k
=> a = 9k; a+b = xk; c = 4k;
=> b2 = ac = 36k2 => b = +- 6k
=> a+b = 9k + (+- 6k) = xk
=> x = 15 或 3
6. xy+x = 5 => x(y+1) = 5 => x = 5/(y+1)
x : (y+1) = 5/(y+1) : (y+1)
= 5/(y+1)2
又y2 + 2y = 19 => y2 + 2y + 1 = 20 => (y+1)2 = 20
原式 = 5/20 = 1/4
7. 這種題目若要一句一句地去解釋
恐怕得多費口舌
倒不如直接 "翻譯" 成數學式子來計算 比較簡潔
假設 犬跑一步的距離 d1, 兔跳一步的距離 d2; 犬跑一步的時間 t1, 兔跳一步的時間 t2.
所以 2d1 = 3d2; 3t1 = 4t2;
=> 假設 犬跑 a 公尺, 兔可跳 x 公尺.
=> (a/d1)*t1 = (x/d2)*t2 <=== (要 跑/跳 幾步; 要多少時間.)
=> x = a * (t1/t2) * (d2/d1)
= a * (4/3) * (2/3)
= 8a/9
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.