高中數學最高工因式解題

Question

1.設a,b,c為自然數.若已知f(x)=x^2+ax-3及g(x)=x^3-bx+2最高工因式為一次式x-c.則序對(a,b,c)=?

2.已知二多項式x^3-ax^2-4x+2與x^3+bx^2-2有一個二次的H.C.F,求a,b之值?

Answer 1

1. 因為最高公因式為一次式
=> c 為 2, 3 的公因數
=> c 為 1 或 -1
當 c = 1
=> f(1) = 0 => 1 + a - 3 = 0 => a = 2
=> g(1) = 0 => 1 - b + 2 = 0 => b = 3
=> (a, b, c) = (2, 3, 1)
當 c = -1
=> f(-1) = 0 => 1 - a - 3 = 0 => a = -2
=> g(-1) = 0 => -1 + b + 2 = 0 => b = -1
=> (a, b, c) = (-2, -1, -1)
2. x3- ax2- 4x+2 與 x3+ bx2-2 有二次的H.C.F
=> 兩式相減得 (b+a)x2 + 4x - 4
=> 兩式相加得 2x3+(b-a)x2 - 4x = x[2x2+(b-a)x - 4]
因為 x 不為兩式的H.C.F
所以 (b+a)x2 + 4x - 4 與 2x2+(b-a)x - 4 為同一式
比較係數得 b + a = 2, b - a = 4
=> a = -1, b = 3
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.依牛頓ㄧ次因式檢驗式
所以c=+-1
當c=1
則x-1為此二式之公因式
則f(x)=(x-1)(x+3)
g(x)=(x-1)(x+d)(x+e)
將g(x)的二次項係數為(d+e)-1=0
所以可得d+e=1
又零次項係數為2,所以d*e=-2(依此得到兩個方程式)
解後==>d=2 or -1==>此時e=-1 or 2
故可得g(x)=(x+2)(x-1)(x-1)展開(b=-3)(a自己求)
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當c=-1
x+1
g(x)=(x+1)(x+d)(x+e)
(d+e)+1=0
d*e=1(無解,因為代入後D<0)

(所以b=-3,c=1,a自己求)

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只解答第一題!!方程式要打很久!!

2007-01-12 16:22:58 補充：
求a會吧!!
依牛頓ㄧ次因式檢驗式
f(x)=(x-1)(x 3)自己展開

2007-01-12 16:24:08 補充：
註:D是一元二次的判別式

2007-01-12 16:25:28 補充：
打錯b= 3
因為g(x)=x^3-bx 2
b的前端是負的