數學問題 高一的> <” (part 2)

Question

1. a,b屬於R 已知 f(x) = 2(x三次方) + 5(x二次方) + ax - 2
g(x) = 2(x三次方) - 5(x二次方) + bx +3
若 [f(x)]的平方+[g(x)]的平方=0 有兩相異實根 試求 數隊(a,b)=____??

2. 已知a.b.c為自然數,設 f(x)= (x三次方) - 2(x二次方) - ax +6 與
g(x) = (x三次方) + 11(x二次方) +bx -35 之最高公因式為 x-c
試求 序對 (a,b,c) = ____??


我要詳解> <" 謝謝

Answer 1

因為 [f(x)]2 + [g(x)]2 = 0 有二相異實根
=> f(x) = 0, g(x) = 0 有二共同相異實根
=> f(x) 和 g(x) 有二次公因式
f(x) - g(x)= 10x2 +(a-b)x -5
3f(x)+2g(x)= x(10x2 +5x +(3a+2b) ）
因為 x 不是 f(x), g(x) 的因式
f(x) 和 g(x) 的公因式為 10x2 +(a-b)x -5 或 10x2 +5x +(3a+2b)
兩者為同一式, 比較其係數可得
a - b = 5, 3a + 2b = -5
=> a = 1, b = - 4
=> (a, b) = (1, -4)
2. 由 f(x), g(x) 常數項 得到 6, 35 的最高公因數 是 1
所以 c 祇能是 1 或 -1. 但是 c 為自然數, 所以 c = 1.
x - 1 是最高公因式.
x = 1 代入, f(1) = 0 得到 a = 5.
x = 1 代入, g(1) = 0 得到 b = 23.
=> (a, b, c) = (5, 23, 1)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.