求曲面與原點最近距離的點座標

Question

求曲面 z^2 = xy+1與原點最近距離的點座標??

有勞各位微積分很厲害的大大 幫小弟一解困惑>"<

小弟用Lagrange算 但是解不出來 希望有大大提供詳解 感恩!!!

多謝這位大大的解題
後來我用自由極值的方法也算出同樣的結果!!感謝你!!

Answer 1

曲面點 (x,y,z) 與原點的距離 d = √(x2+y2+z2)
(x,y,z) 滿足 z2 = xy+1
=> d = √(x2+y2+xy+1)
又 x2+y2 >= 2√(x2*y2) = 2xy 算數平均數 >= 幾何平均數
=> x2+y2 + xy >= 0
=> d 的最小值為 √(0 + 1) = 1 (當 x = y = 0 時)
=> z = 1 或 -1
=> 與原點最近距離的點座標 (0,0,1) 或 (0,0,-1)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.