Um fazendeiro construiu um cercado circular de 30 metros de diâmetro para sua mimosa , mas ele quer amarrar a mimosa na cerca de tal modo que a mimosa consiga pastar apenas a metade do pasto circular. Qual deve ser o comprimento da corda entre a cerca e a mimosa?
2007-01-05 05:40:48 · 17 respostas · perguntado por kARALEGAL_777_ 7 em Ciências e Matemática ➔ Matemática
este 'e o problema de matematica mais elegante que conheco :
- dado R pede-se L
o enunciado 'e de uma simplicidde incrivel e a solucao 'e de uma complexidade sem tamanho.
requer a aplicacao de calculo integral (materia de faculdade de fisica, matematica ou engenharia)
vamos ao que interessa : vou conduzir a sol no formato algebrico
dado R = raio do pasto (no caso 15m)
L=comprimento da corda que amarra mimosa, vamos fazer L = R + d e buscar d ( o tamanho que a corda excede o raio do pasto)
se esta deve comer metade da grama , obvio que ela deve comer um semi-circulo
caso a corda tenha L = 15m, so pelo desenho, a gente vai poder ver que a area sob a corda nao cobre TODO um semi-circulo.
a area que mimosa come nao e elipse, e uma intersecao de dois circulos de raios R e R+d
peguem papel e lapis e vamos la:
1-desenhe um sistema de coordenadas cartesianas : eixo x e eixo y, cruzando no ponto O (0,0)
2-com centro em O , desenhe uma circunferencia de raio R
3-este circulo:
3.1-corta o semi-eixo positivo de x no ponto A (R,0)
3.2-corta o semi-eixo positivo de y no ponto B (0,R)
4-com centro em A (poste onde mimosa vai estar amarrada), desenhe uma circunferencia de raio L= R + d
5-este novo circulo :
5.1-corta o eixo x em dois pontos. vamos chamar o ponto a esquerda de O como sendo C (-d,0)
5.2-corta o semi-eixo positivo de y no ponto D
5.3-corta o circulo desenhado no item 2, no ponto E (situado no primeiro quadrante)
5.4-na projecao de E sobre x, temos F
6-para que mimosa coma a metade da grama e preciso que a area do triangulo ODC = area do DBE pois :
DBE = area do semi-circulo que ela nao come
ODC = area que mimosa come ALEM do semi-circulo
7-basta , poe basta nisto, calcular a area destes dois triangulos
8-a complexidade esta em :
8.1-ODC=area de um setor circular de raio R+d, delimitado pelos eixos x e y, x variando de -d a 0
8.2- area BDE = OBEF - ODEF
a-OBEF = area sob circunferencia de raio R , x variando de 0 a F(ainda desconhecido)
b-ODEF = idem de raio R+d , com centro em A (R,0)
9-resolvendo esta confusao toda temos que , para R=1,
(1-2d-d2) acos(( (1+d)/2) + 1/2 ( 3 + 4d - 2d2 - 4d3 - d4)^ (1/2) - pi/2 = 0
d2 = d elevado ao quadrado
acos (z) = arco cujo cosseno vale z
d4= d elevado a quarta potencia
(m)^ (1/2) = raiz quadrada de m
pi = 3,14159 26535 89793
'e uma simples equacao de uma unica variavel , chamada eq transcendente, que , tambem, nao tem sol facil.
para se achar uma sol numerica, temos que usar uma ferramenta de ramo da matematica, conhecida como calculo numerico, chamada interacao de newton-raphson
por esta interacao temos que d= 0,1587284715 (para R=1)
ou seja amarre a mimosa com corda de 17,380927 m , aproximadamente
a sol, mais completa, esta no site abaixo onde tem ate uma rotina em excell para resolver esta eq
2007-01-05 10:36:32 · answer #1 · answered by chicobento 2 · 6⤊ 3⤋
a vaca so pode andar metade da area do pasto.
area total do pasto é: 706,5 m2
area q a vaca pode andar = 353,25 m2
como a corda irá se estender circularmente pelo pasto, ela formará um setor circular q será delimitado pela cerca do pasto, este setor circular´é 1/3 da circunferencia q seria formada pela corda toda........a circunferencia deve entao ter area de 1059,75 m2, que dividos por 3 dá 353,25 m2, que é o q a vaca pode andar.................um circulo de 1059,75 m2 tem raio de aproximadamente:18,371 m que é o tamanho q a corda da vaquinha deve ter
2007-01-05 14:04:52 · answer #2 · answered by Scully 4 · 3⤊ 3⤋
Bem...
Se a corda tiver 15 metros (metade do diâmetro), a mimosa poderá caminhar por um pouco menos que a metade da área.
A Área da Mimosa seria um Elipse, que deve equivaler à metade da Área Total.
Área da Elipse = pi x (eixo maior) x (eixo menor)
eixo maior = seria metade de um segmento horizontal imaginário que divide a elipse ao meio.
eixo menor = metade de um segmento vertical que divide a elipse ao meio. Esse segmento representa a corda que queremos saber.
Área da Elipse = (Área Total) / 2
pi x (eixo maior) x (eixo menor) = pi x (raio)² / 2
(eixo menor) = (raio)² / 2 x (eixo maior)
Corda = 2 x (eixo menor)
Corda = 2 x [ (raio)² / 2 x (eixo maior) ]
Corda = (raio)² / (eixo maior)
É necessário conhecer o valor de "eixo maior" para resolver a questão. Uma forma de se encontrar esse valor, seria calculando a Área do Segmento Circular, pois o "eixo maior" define um Segmento Circular da Circunferência da Área Total.
Mas é necessário saber o valor do Arco de Circunferência.
Segmento = [Arco x raio - (raio - flecha) x eixo maior] / 2
flecha = equivale ao ''eixo menor'' da elipse.
2007-01-05 13:47:22 · answer #3 · answered by Beakman 5 · 3⤊ 4⤋
Seria muito fácil se fosse somente dividir por dois. O problema é complicado e, pelo que vi, não parece ter uma solução "braçal". Alguns problemas são assim. Um exemplo é a equação de Kepler, usada na astronomia, que é resolvida por métodos numéricos.
O comprimento da corda, evidentemente, vai ser maior do que 15 metros. Pesquisei soluções em livros e na Internet, mas encontrei diferenças (respostas variando entre 17,38 e 17,49).
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2007-01-05 15:18:35 · answer #4 · answered by Tau Ceti 5 · 2⤊ 4⤋
15 metros e 49 cm
2007-01-06 06:17:22 · answer #5 · answered by Parem o mundo, quero descer 6 · 0⤊ 3⤋
O comprimento da corda deverá ser de 7,5 m...
2007-01-05 18:17:30 · answer #6 · answered by Anonymous · 2⤊ 5⤋
Se o cercado tem 30 de diametro, o raio será de 15.
Com um raio de 15 num cercado circular a mimosa terá acesso aos 30 de diametro, logo, a corda deverá ter apenas 7,5m de cumprimento para que ela tenha acesso a um diametro de apenas 15 metros.
2007-01-05 18:27:39 · answer #7 · answered by Jorge C 3 · 0⤊ 4⤋
"A minha resposta seria 7,5m. Pois a aréa do pasto seria A=2.r.3,14 (2x15x3,14= 94,2m. So que vc so quer a metade do pasto, por isso que eu acho que seria 7,5m.
2007-01-05 14:04:01 · answer #8 · answered by herlansouza 3 · 1⤊ 5⤋
Estica o prazo da tua pergunta porque eu vou pensar e responder certinho.... Só adianto uma coisa, amarrado à CERCA com 15 m de comprimento, como todos estão dizendo, ela vai comer menos da metade. Aguarda aí... Volto com a resposta...
2007-01-05 13:59:27 · answer #9 · answered by Jnr 2 · 1⤊ 6⤋
A corda para sua querida mimosa terá que ser de 15 metros. Se o diâmetro circular tem 30m a metade é 15m de raio.
2007-01-05 13:47:08 · answer #10 · answered by Anonymous · 1⤊ 7⤋