數學與邏輯

Question

[垛]
將相同大小的球相接堆排成長方形，底層相鄰四個球間的空隙再堆一個球，依此類推向上堆放直到最上一層無法找到空隙再堆為止，這樣的構造稱為「垛」。底層有24個球，再堆一層3個球就不能再堆。

請問如何從垛最底層的長寬求出垛的層數與總共的球數？

Answer 1

我稱最上面那一層為第一層，以此類推
第一層我們可以知道是3個球<長寬為1*3的長方形>
我們可以知道
***
***

兩個球之間的上面可以放一個球
所以可以推出第二層為(1+1)*(3+1)=2*4
所以以此類推
1*3
2*4
3*5
4*6=24 再第四層的時候 剛好是24個 所以這個垛剛好有四層
全部的數量為3+8+15+24=50

2007-01-04 00:36:35 補充：
要如何知道24是從6*4而來呢
我們可以觀察最上面這一層的結構
長跟寬相差長度為2
每次都是增加一
所以到最底層的長寬差還是2
所以x*(x 2)=24 可以解出x=4

Answer 2

先看個實例好了：

長7(有6個空隙)，寬5(有4個空隙)，

7*5+6*4+5*3+4*2+3*1=85

也就是每往上一層，長寬各減1，一直疊到寬為1時，就是無法再往上疊的最頂層了。

所以若長寬各為a和b，且a小於等於b，則層數就是a。


至於總數就比較麻煩，這涉及到sigma的計算，同樣設a小於等於b，計算如下：


圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1507010400265.GIF


以上述實例代入，(6*25*7-5*4*27)/6=(1050-540)/6=85，直接可算出來，頗方便。