Um quadrado de área 6√3 cm2 está inscrito em uma circunferência que por sua vez ...?

Question

Um quadrado de área 6√3 cm2 está inscrito em uma circunferência que por sua vez está inscrita em um triângulo eqüilátero. Calcule a área desse triângulo.

Answer 1

se a área do quadrado mede 6√3, então:
l²=A=6√3 cm²
l=√(6√3) cm
pelo teorema de Pitágoras, a diagonal do quadrado mede:
d²=l²+l²
d=√(2l²)=l√2=√(6√3).√2 cm
d=√(6.2.√3)=2√(3√3) cm
Observe que como o quadrado está inscrito na circunferência, a medida da sua diagonal coincide com a do diâmetro da circunferência. Então, o raio dela mede:
r=d/2=√(3√3) cm
Como em todo polígono regular, a área desse triângulo pode ser obtida como seu semiperímetro (p=3.l/2) multiplicado pela sua apótema (a), que nesse caso coincide com o raio da circunferência inscrita nele (a apótema é um segmento que parte do centro geométrico do polígono regular e vai até o ponto médio de um dos lados). Mas também, traçando a altura do triângulo equilátero e aplicando o Teorema de Pitágoras em um dos dois triângulos retângulos assim obtidos, temos:
l²=(l/2)²+h²
h²=3l²/4
h=l√3/2
igualando as duas formas de obter a área.
A=p.a=l.h/2
A=3.l/2.r=l.(l√3/2)/2 (simplificando o /2 em ambos os lados)
3.l.r=l²√3/2
l=3.r.2/√3
l=2√3.r=2√3.√(3√3)=6.√(√3) cm
l²=36√3 cm²
então:
A=l.h/2=l.(l√3/2)/2
A=l²√3/4=36√3.√3/4=9.3=27 cm²

Answer 2

Bem....

Para resolver essa questão é necessário saber algumas relações do triângulo equilátero:

1) O centro da circunferência inscrita é também, ao mesmo tempo, o Ortocentro e Baricentro, isto é, o ponto de encontro das alturas do triângulo e das medianas.

2) Num triângulo equilátero a mediana e a altura são congruentes.

3) O Baricentro é um ponto que divide as medianas em duas partes de (1 / 3) e (2 / 3).

TRADUZINDO...

As alturas são divididas em duas partes (1 / 3 + 2 / 3).

4) Cada altura é formada por (raio) + (2 raio), uma vez que o raio da círculo é também a menor parte da altura (1 / 3).

5) A metade do lado do triângulo, (2 / 3) da altura e o raio do círculo formam um triângulo retângulo. Sendo assim (pitágoras):

(2 x raio)² = (raio)² + (lado / 2)²
4 x raio² = raio² + lado² / 4
16 x raio² = 4 x raio² + lado²
lado² = 12 x raio²
lado = 2 x raio x √3

A área do Triângulo Equilátero:

Área = (lado² x √3) / 4
Área = {(2 x raio x √3)² x √3} / 4
Área = {(4 x raio² x 3) x √3} / 4
Área = (12 x raio² x √3) / 4
Área = 3 x raio² x √3

6) O raio é metade da diagonal do quadrado.

7) Diagonal = lado do quadrado x √2

Área do Quadrado = 6 x √3
lado² = 6 x √3
lado = √6 x √√3
lado = √6 x raiz quarta de √3

Diagonal = lado x √2
Diagonal = √6 x (raiz quarta de √3) x √2
Diagonal = √12 x raiz quarta de √3
Diagonal = 2 x √2 x raiz quarta de √3

Raio = diagonal / 2
Raio = (2 x √2 x raiz quarta de √3) / 2
Raio = √2 x raiz quarta de √3

Então, a Área do Triângulo é, finalmente:

Área = 3 x raio² x √3
Área = 3 x (√2 x raiz quarta de √3)² x √3
Área = 3 x (2 x √3) x √3
Área = 6 x (√3)²
Área = 6 x 3 = 18 cm

Ufa...Estou quase sem folego para dizer:

Bada-bim....Bada-bum.

Answer 3

A resposta é = 18 cm2.

Answer 4

tsc tsc tsc

não se faz mais lição de casa como antigamente...

Answer 5

Área do quadrado = 6√3 cm²
Área do triângulo = (L² *√3) : 4
(6√3.√3):4 = (6*3):4 = 4,5cm²
>::

Answer 6

é muito facil, vai dizer que vc não sabe?

Answer 7

simples