簡諧運動的題目!!

Question

一物體在平面上做簡諧運動(用彈簧)
當此物體在平衡點時
質量減少了一半
則它的週期為原來的幾倍？
　　　振幅又為原來的幾倍？

那答案是多少?
兩個都是根號1/2?

Answer 1

們在第 5 週大略的介紹了彈簧運動。理想的彈簧，遵守 Hook's Law。也就是說，彈簧的位移量 x (displacement)和彈簧的彈力 F(spring force)有正比的關係：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-05.gif
　　　　　F = -kx
依據 Newton's second law，施力 F會對於物體產生一個加速度的作用：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-08.gif

很明顯的，這是一個簡諧運動的方程式。所以由前一頁的解，我們得到彈簧位移和時間的關係、以及彈簧運動的週期 T：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-09.gif

這裡我們假設在時間 t=0時，鬆開彈簧開始運動。
彈簧的動能與位能
我們這次由位移量 x(t)的解來探討彈簧的動能與位能。由 x(t)，很輕鬆的可以由微分得到速度 V(t)：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-10.gif

負號表示在前半週期裡的運動方向為負方向。知道了速度，就知道動能 K:

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-11.gif

由第 5 週的課程，我們知道彈簧的位能和位移的平方 x2成正比：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-12.gif

把動能和位能相加，得到一個常數值 E(機械能)：





圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-14.gif

動能 K，位能 U以及總機械能量 E 的關係圖


圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-13.gif

自然界的現象中，例如彈簧運動、小角度的鐘擺、乃至於晶體以及原子裡的震盪，都可以見到簡諧震盪的現象。而奇妙的是，簡諧震盪也幾乎是所有的震盪中，最容易解的數學問題。顯然的， Nature 挑選了簡單好理解的簡諧震盪來作為基本的運動型式。















簡諧震盪 Simple Harmonic Oscillation (簡稱 SHO)
若一個震盪運動，其震盪位移 X 滿足以下的微分方程式：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-01.gif

則此震盪稱為簡諧震盪。

簡諧運動的解
其實，這只是一個二階的常微分方程式。讀者可以驗證，此方程式的最一般解的型式為：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-06.gif

這裡，常數 A、B都是將由初始條件如 X(t=0), dX/dt(t=0)來決定：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-02.gif

由和角公式，我們可以把簡諧運動的解以一個弦波函數來表示：




圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-03.gif


圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-07.gif

這沒有什麼了不起，只是把常數 A、B變成了另外兩個常數X0 (amplitude: 振幅)、f (Phase :相角)罷了！！這些常數的關係為：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/images/SHO-04.gif

參考網頁
http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/sho-1.php