急!!!問高中數學多項式

Question

題目是:若二多項式x^3+4x^2+x-6與2x^3+(a-2)x^2+ax-2a的最高公因式為二次式,
則整數a=?

答案是18 請問能告訴我是怎麼解的嗎?

拜託你們了!!!謝謝

Answer 1

將 x3+4x2+x-6 因式分解得 (x-1)(x+2)(x+3)
如果 x-1 是 2x3+(a-2)x2+ax-2a 的因式
則 x 用 1 代入 2x3+(a-2)x2+ax-2a 會等於 0
=> 2 + (a-2) +a -2a = 0 成立
同理 x 用 -2 代入 => -16 + 4(a-2) - 2a - 2a = -24 (不是因式)
同理 x 用 -3 代入 => -54 + 9(a-2) - 3a - 2a = 4a -72
已知 兩者的最高公因式為二次式, x-1 為其公因式, x+2 不是公因式, 所以 x+3 必為公因式
=> 4a - 72 = 0 => a = 18
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

Hi
先分解 x^3+4x^2+x-6得到他的3個因式(x-1)(x+2)(x+3)
[用 1, -2, -3 代入式子中得到的]
3個因式 兩兩互乘得到(x^2+x-2), (x^2+2x-3), (x^2+5x+6)
都用2x^3+(a-2)x^2+ax-2a 去除以這3個二項式
其中 只有(x^2+x-3)這因式有效 [這就是他們的最高公因式]
得到餘式是 (-a+18)+(a-18)
此餘式 必須等於0 所以 (-a+18)+(a-18)=0, a=18

ps: 這兩式(x^2+x-2), (x^2+5x+6)各得到的餘式 都不符合條件