請教數學整數論的問題04

Question

1.給定n為正整數,請寫出n個合成數.
2.若(2^n)+1是質數,證明n只有2為其質因數.

經詢問過原作者JJ，第1題答案
應修改為:n*4, n*5, ... n*(n 3)才恰當

Answer 1

1. 對於任何 n, n*2, n*3, ... , n*(n+1) 必為 n 個合成數.
(不可以寫 n*1, 因為 n 可能是質數)
2. (x2k+1+1) = (x+1)(x2k - x2k-1 + x2k-2 - ... - x + 1), k 為自然數
在 2n+1 中, 如果 n 有 2 以外的質因數 p, 則 p 必為奇數.
則 2n+1 = (2n/p)p + 1 = (2n/p+1)[(2n/p)p-1 - (2n/p)p-2 + (2n/p)p-3 - ... - (2n/p) + 1] 必有因數 (2n/p)+1
=> 2n+1 非質數 (矛盾)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.