【急】問一個有關多項式的題目！

Question

以13^2+13+1除以13^85+13^25-8*13^10-4*13^2+8的餘數為何？

講義的詳解所寫的我看不懂，所以~
算式請盡量詳細一點！
你就當做在教一個白痴...

TO tom

你可以再幫我回答我問的另一個問題嗎？
謝謝！

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507010206892

TO tom

我剛剛看了答案，和你算的不一樣...
答案是169。

Answer 1

考慮 (13-1)(132+13+1)= 133 - 1
考慮 1385 + 1325- 8*1310- 4*132 + 8 = q*(133 - 1) + r ...(1)
所以原數除以 132+13+1的餘數等於 r 除以 132+13+1的餘數
又對於任何數 k,
(133)k
= [(133-1)+1]k
= (133-1)k + C(k,1)*(133-1)k-1 + C(k, 2)*(133-1)k-2 + ... + C(k,k-1)*(133-1)1 + 1
所以 (133)k ≡ 1 mod 133-1 ((133)k 除以 133-1的餘數等於 1.)
1385 + 1325- 8*1310- 4*132 + 8
≡ (133)28 *13 + (133)8 *13 - 8*(133)3 *13 - 4*132 + 8
≡ 1 *13 + 1 *13 - 8*1 *13 - 4*132 + 8 mod (133-1)
≡ -746 mod (133-1)
所以 (1) 式中的 r = -746. 而 132+13+1 = 183
-746 = 183*(-5) + 169 (也就是 -746 ≡ 169 mod 183)
所以 -746 除以 132+13+1的餘數等於 169.
也就是說 原數除以 132+13+1的餘數等於 169.
附註: 以前的學習, 餘數必大於等於 0 而小於除數.
但是廣義的餘數是介於 (-除數) 與 除數 之間.
所以在數學式子上可以寫成
169 ≡ -14 mod (132+13+1)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.