Alguém consegue resolver a inequação quociente abaixo?

Question

Seja a inequação -3< (x² + mx -2) / (x²-x+1) <2; determine m de modo que a inequação seja satisfeita para todo x real.

Answer 1

Esta inequação pode ser desdobrada no seguinte sistema de inequações:
(x² + mx -2) / (x² - x + 1) > - 3
e
(x² + mx -2) / (x² - x + 1) < 2

Portanto:
[(x² + mx -2) / (x² - x + 1)] + 3 > 0
e
[(x² + mx -2) / (x² - x + 1)] - 2 < 0

Logo:
[x² + mx - 2 + 3(x² - x + 1) / x² - x + 1] > 0
[x² + mx - 2 + 3x² - 3x + 3 / x² - x + 1] > 0
[4x² + (m - 3)x + 3 / x² - x + 1] > 0

e

[x² + mx - 2 - 2(x² - x + 1) / x² - x + 1] < 0
[x² + mx - 2 - 2x² + x - 2 / x² - x + 1] < 0
[ - x² + (m + 2)x - 4 / x² - x + 1 ] < 0

Agora, temos o seguinte sistema de inequações (que precisam ser simultaneamente satisfeitas):
[ 4x² + (m - 3)x + 3 / x² - x + 1 ] > 0 (i)
e
[ - x² + (m + 2)x - 4 / x² - x + 1 ] < 0 (ii)
_________________________________

(A) Efetuando o estudo do sinal de (i):

- Numerador: 4x² + (m - 3)x + 3
- Denominador: x² - x + 1 (não possui raízes reais, sendo o seu valor sempre positivo).

Dessa forma, para que a função como um todo assuma sempre valores positivos, seu numerador precisará assumir necessariamente valores positivos. Portanto, teremos:

4x² + (m - 3)x + 3 > 0; sendo: A = 4; B = (m - 3); e C = 3.

O valor de A positivo (A = 4) indica que a concavidade da parábola se encontra voltada para cima (existindo um minimante). Daí, para que a função como um todo assuma somente valores positivos, basta fazer com que o valor de "delta" seja sempre negativo - como se segue, abaixo:

delta = B² - 4.A.C < 0
= (m - 3)² - 4.(4).3 < 0
= m² - 6m + 9 - 48 < 0
= m² - 6m - 39

Solução (i): 3 - 4.sqr(3) < m < 3 + 4.sqr(3)

Ou, para quem preferir trabalhar com números decimais, basta que se considere o valor de 4.sqr(3) = 6,93 (aproximadamente):

Solução (i): -3,93 < m < 9,93


(B) Efetuando o estudo do sinal de (ii):

- Numerador: - x² + (m + 2)x - 4
- Denominador: x² - x + 1 (não possui raízes reais, sendo o seu valor sempre positivo).

Portanto, para que a função como um todo assuma apenas valores negativos, seu numerador precisará assumir necessariamente valores negativos. Portanto, teremos:

- x² + (m + 2)x - 4 < 0; sendo: A = - 1; B = (m + 2); e C = - 4.

O valor de A negativo (A = - 1) indica que a concavidade da parábola se encontra voltada para baixo (existindo um maximante). Daí, para que a função como um todo assuma somente valores negativos, basta fazer com que o valor de "delta" seja sempre negativo - como se segue, abaixo:

delta = B² - 4.A.C < 0
(m + 2)² - 4.(-1).(-4) < 0
m² + 4m + 4 - 16 < 0
m² + 4m - 12 < 0

Solução (ii): - 6 < m < 2
____________________________

Como as duas soluções (i) e (ii) precisam ser simultaneamente satisfeitas, basta encontrarmos a interseção entre os intervalos encontrados em (i) e (ii).

Portanto, o "valor de m" precisa estar na interseção entre os intervalos encontrados em (i) e (ii):

Solução (i): - 3,93 < m < 9,93
e
Solução (ii): - 6 < m < 2

SOLUÇÃO FINAL: para que a inequação dada seja totalmente satisfeita, o "valor de m" (pertence a R) precisa estar entre o intervalo ] - 3,93; 2 [ .


Reveja tudo com atenção, verificando se existe algum erro.
Espero que não! Linda a questão!
Qualquer dúvida, entre em contato.

FELIZ ANO DE 2007!

Answer 2

Não posso te ajudar porque tentei mais não consigo. Não tenho paciência para a matemática não.

Answer 3

Tentei mas náo consegui.

Answer 4

Bom, vou tentar...
Temos que isolar o "m" no termo do meio da inequação, e pra isso vamos começar eliminando o denominador da fração, multiplicando todos os 3 termos da desigualdade por x²-x+1:

-3(x²-x+1)< (x² + mx -2) < 2(x²-x+1)
-3x² + 3x - 3 < x² + mx - 2 < 2x² -2x + 2

Agora, vamos sumir com o x² - 2 do termo do meio, somando -x² + 2 a todos os termos:

-3x² + 3x - 3 +(-x² + 2)< x² + mx - 2 +(-x² + 2)< 2x² -2x + 2 +(-x² + 2)

-4x² + 3x - 1 < mx < x² - 2x + 4

Dividindo tudo por x agora:

(-4x² + 3x - 1)/x < m < (x² - 2x + 4)/x

Seria isso?