關於數學整數論問題

Question

已知p是質數且p是兩個自然數立方差.試證:6|(p-1)

Answer 1

設 P=a^3-b^3 (a,b)屬於正整數N

P=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

因為P為質數,且(a^2+ab+b^2)恆>1

所以(a-b)=1 =>a-1=b => a,b一個為偶數 另一個為奇數

則(a^2+ab+b^2)=奇數=2k+1=P (k屬於正整數)

所以 2|(P-1).............................................(1)

又因P-1=(a^2+ab+b^2)-1

代入a-1=b

則a^2+a(a-1)+(a-1)^2-1=a^2+a^2-a+a^2-2a+1-1=3(a^2-a)

所以 3|(P-1).............................................(2)

由(1)(2)得知 6|(p-1)