關於數學整數論問題

Question

有一自然數x以十進位表示其每位數字只有0,2與6,證明:x不是完全平方數

思考方向:
1.因為只有0,2,6所以不可能為奇數的平方
2.由1可推得末兩位數不被2與5整除
3.由1可推得各個數字和不為9之倍數

Answer 1

假設此數為 n 的完全平方數, 我們來討論 n 個位數情況
1. 個位數不能為奇數 (因為平方後個位數為奇數)
2. 個位數不能為 2 或 8 (因為平方後個位數為 4)
3. 假設個位數是 4, 則 n = 10k + 4 (k 為自然數)
=> n2 = 100k2 + 80k + 16
=> 此數 (n2) 的十位數必為奇數 (因為100k2 + 80k 的十位數為偶數) => 不合.
4. 假設個位數是 6, 則 n = 10k + 6 (k 為自然數)
=> n2 = 100k2 + 120k + 36
=> 同理, 十位數必為奇數, 不合.
5. 所以 n 的個位數必須為 0.
所以必存在 n = p*10m, 其中 p 的個位數不為 0, m 為自然數.
但是由 1. 到 4. 的證明得知那個 p 不存在.
所以 n = 0. => x = n2 = 0 (與 x 是自然數矛盾)
=> x 不是完全平方數
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.