彈力位能公式E=1/2kx^2?並詳述彈簧串聯並聯差異。

Question

虎克定律：F=kx^2
彈力位能：E=1/2kx^2
為何彈力位能=1/2作用力??

已知下列事實：
1.彈簧秤單獨秤一個物體時，假設物體200gw，則彈簧秤讀數200gw。
2.彈簧秤"並聯"秤一個物體時，假設物體200gw，則彈簧秤讀數分別為100gw。
3.彈簧秤"串聯"秤一個物體時，假設物體200gw，則彈簧秤讀數均為200gw。
Q：定義彈簧秤讀數為100gw時，彈簧伸長量為L。則彈簧並聯的總伸長量(L+L)=彈簧單獨的伸長量(L)。彈簧串聯的總伸長量(2L+2L)大於彈簧單獨的伸長量(L)。
當以同一力拉彈簧時：
1.拉一個彈簧，作功為E=1/2kx^2=1/2k(2L)^2=2kL^2
2.並連拉兩個彈簧，作功為E=1/2kx^2=1/2k(L+L)^2=2kL^2
3.串連拉兩個彈簧，作功為E=1/2kx^2=1/2k(2L+2L)^2=8kL^2
為何以"同一力"拉彈簧時，串連愈多彈簧，作功愈大??

嗯~虎克定律是F=kx

請詳述畫什麼圖，或是直接畫出來

回答者： shentc ( 初學者 5 級 )
回答時間： 2006-12-25 08:58:20

對於你的回答，有所疑慮。

Your answer：2支並聯時每支彈簧受力 1/2F, 每支伸長量L/2, 總伸長量L/2, 代入上述公式 總彈力位能為 2支*(1/2F)*(1/2L) = 1/2*F*L=1/2K*L^2 (其中F=K*L)

Q：1.總伸長量不是應為L(L/2*2)？
2.代入公式，總彈力位能不是應為2支*1/2FL = 2*(1/2)*(1/2F)*(1/2L) = 1/4*F*L = 1/4K*L^2 ？

Q： 3.那麼單一彈簧時，受力為F，伸長量為L，則總彈力位能為1/2*F*L = 1/2KL^2。所以以同一力拉單一彈簧時，做的功會等於串連許多彈簧？那"並連拉許多彈簧"比"單獨拉一個彈黃"所做的功來的小，似乎又說不過去。
4.串聯時彈簧不是應該視為單一彈簧嗎？如果視為單一彈簧，則此彈簧受力Ｆ，伸長量２Ｌ，則做的功為1/2*F*L = 1/2*F*(2L)^2 = 2F*L^2。
麻煩詳解，謝謝。

重新算一次，因為串聯時K=1/2，並聯時K=2

拉單一彈簧的彈力位能為1/2FL = 1/2KL^2
拉串聯二彈簧的彈力位能為1/2FL = 1/2(1/2K*2L)L = 1/2KL^2
拉並聯二彈簧的彈力位能為1/2FL = 1/2(2K*1/2L)L = 1/2KL^2

為什麼不能直接帶彈力位能公式E=1/2KL^2？
拉單一彈簧的彈力位能為1/2KL^2
拉串聯二彈簧的彈力位能為1/2KL^2 = 1/2(1/2K)(2L)^2 = KL^2
拉並聯二彈簧的彈力位能為1/2KL^2 = 1/2(2K)(1/2L)^2 = 1/4KL^2

那個..."2006-12-25 23:33:52 補充"以前的補充問題都可以不用回答，現在我只要問"2006-12-25 23:33:52 補充"的問題就好了。

後來發現，剛剛問的補充問題原來是因為我算錯了...
好吧，前面的補充問題全部當作沒看到...
所以，結論是：以同一力拉彈簧時，做的功：串聯＞單一＞並聯？

Answer 1

滿足虎克定律的材料其受力F與變形S以直角座標表示呈現一直線, 該直線之斜率即為該材料之彈性係數K=F/S

再說彈力位能為何有1/2, 彈力位能的獲得是由外部作功而來, 功的定義為力乘距離(F*S), 將該彈簧掛上重量使彈簧受力F時, 該彈簧不是靜止的而是產生簡諧運動(上下震動), 要等一段時間以後才靜止, 等靜止後彈簧伸長量為L, 由開始到此時為止外功為F*L, 但是過程中彈簧的上下運動到停止必定消耗能量, 外功不可能全部轉換成為彈力位能, 那麼到底轉換了多少呢?------想法: 如果能讓彈簧不做簡諧運動那就沒有損失, 那麼外功就全部為彈力位能了!----如何做到?-----答案是"慢慢加載".

將掛上的重物分成小塊越多越好, 每一小塊重量越小越好, 慢慢將每一小塊分別放入彈簧下, 這樣彈簧就沒有震動了, 這樣加載的外功就全部轉成為彈力位能----如何計算外功呢?

假如分成N塊(N趨近無限大), 每一塊F/N重, 加入每一塊會使彈簧伸長L/N,
加入第一塊時作功 (F/N)*(L/N),
加入第二塊時外力為2F/N(第一二塊重量), 彈簧伸長一塊的量(只有本次加一塊引起伸長L/N), 本此作功 (2F/N)*(L/N),
第三次再加作功 (3F/N)*(L/N).......,
最後一次作功 (NF/N)*(L/N),
故總外功為N次相加 (F/N)*(L/N)+(2F/N)*(L/N)+....+(NF/N)*(L/N)=1/2*[(1+N)*N]*[(F/N)*(L/N)],
又由於N趨近無限大故(1+N)=N , 故總外功為 1/2*F*L-----1/2是如此而來, 了解了嗎?
故彈力位能U=1/2*F*L正是外力與變形圖中K直線下方所圍成三角型的面積.
2支串聯時每支彈簧受力 F, 每支伸長量L, 總伸長量2L,代入上述公式 總彈力位能為 2支*1/2*F*L = F*L=K*L^2 (其中F=K*L)
2支並聯時每支彈簧受力 1/2F, 每支伸長量L/2, 總伸長量L/2, 代入上述公式 總彈力位能為 2支*(1/2F)*(1/2L) = 1/2*F*L=1/2K*L^2 (其中F=K*L)

Answer 2

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Answer 4

首先我要跟你說，你第一行就打錯了
應該是 F = kx 才正確
畫圖的方式即可導出 E = 1/2kx^2
為何以"同一力"拉彈簧時，串連愈多彈簧，作功愈大??
解：
因為串聯時，每個彈簧受力相等，故伸長量相同
伸長量的平方正比於 E 所以串聯越多