Un problème mathématique : démontrer que pour a et b entiers positifs, a/b+b/a est supérieur ou égal à 2...

Question

Oui, ça a l'air simple, mais ça me bouffe depuis deux jours ^^

Answer 1

Posons b = a + c.
- Si c=0 (lorsque a = b), a/b + b/a = 2
- Si c>0, a/b + b/a = a/(a+c) + (a+c)/a = [a² + (a+c)²] / a(a+c) = (2a² + 2ac+c²)/[a(a+c)] = [2a(a+c) + c²]/[a(a+c)] = 2 + c²/[a(a+c)] >2

Answer 2

a/b + b/a= a*a/ab+ b*b/ab
(a²+b²)/ab

Etudions si (a²+b²)/ab>=2
(a²+b²)/ab>=2 et ab différent de 0

<=>
a²+b²-2ab>=0 et ab différent de 0
<=>
(a-b)²>=0 et ab différent de 0 est toujours vrai

CQFD

Answer 3

(a/b)+(b/a) = (a²+b²)/ab (réduction au même dénominateur)
(a-b)² = a²+b²-2ab (identité remarquable)
or (a-b)² >= 0 donc a²+b²-2ab >= 0 donc a²+b² >= 2ab
or a et b sont positifs donc on peut diviser par ab sans modifier le sens de l'inégalité donc (a²+b²)/ab >= 2
d'où (a/b)+(b/a) >= 2 : CQFD

Answer 4

a/b+b/a-2 = (a2+b2-2ab)/(ab) = (a-b)^2/ab >=0

Answer 5

je pars de
on sait que
(a-b)²>= 0
a²-2ab+b²>=0
a²+b²>=2ab
(a²+b² )/ ab >=2 (ab) est positif

partage le dénomiteur à a² et b² tu simplifieras ensuite et voilà!