Problema de M.D.C. Quem resolver, e explicar melhor ganha os 10 pontos!!!?

Question

Sejam os números naturais A= 2³ * 3(elevado a X) * 5(elevado a Y) e B= 10^4 * 3^8. Se o máximo divisor comum de A e B é 360, então x + y é igual a:

Eu quero saber como se calcula, porque a resp eu já sei!

Um abraço

Answer 1

Sim....Vamos lá...

A = 2³ . 3 (elevado a x) . 5 (elevado a y)

B = 10 (elevado a 4) . 3 (elevado a 8)

Você disse que o MDC entre A e B é igual a 360.

Isso significa que o resultado da fatoração simultânea de A e B é uma sequência de números primos que multiplicados resultam em 360.

Para encontrar tal sequência basta fatorar o próprio 360.

Fatoração de 360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 2³ . 3² . 5¹

A fatoração de A = 2³ . 3 (elevado a x) . 5 (elevado a y)

A fatoração de B = 10 (elev a 4) . 3 (elev a 8)
A fatoração de B = 2 (elev a 4) . 5 (elev a 4) . 3 (elev a 8)
A fatoração de B = 2 (elev a 4) . 3 (elev a 8) . 5 (elev a 4)

Agora vem o mais importante....

A fatoração simultânea de A e B resultaria numa sequência de números primos de MENOR expoente comuns as duas fatorações em separado.

Traduzindo...

Como os números primos são os mesmos para as fatorações de A e B (2, 3 e 5), vamos analisar os expoentes:

Expoentes da Fatoração de A = 3 ; x ; y
Expoentes da Fatoração de B = 4 ; 8 ; 4
Expoentes da Fatoração AB = 3 ; 2 ; 1 = 360

Assim...

x = 2 e y = 1

Pois esses são os menores expoentes que satisfazem a condição de que MDC de AB = 360.

x + y = 3

Ha HA....

Eu sou Beakman...

E você acaba de entrar no Mundo de Beakman!!

Answer 2

Teoria (definição formal de MDC):
Definindo A e B em termos de seus fatores primos,
A = ∏ Pi ^ αi
B = ∏ Pi ^ βi
onde os Pi's são todos os fatores primos de A e B, e se um dado fator primo Pi não ocorrer na outra fatoração, então o expoente correspondente é 0 (zero). Desta forma, o máximo divisor comum MDC (A, B) é dado por:
MDC(A, B) = ∏ Pi ^ min(αi, βi) (eq. 1)

Aproveitando, o mínimo múltiplo comum MMC(A, B) é dado por:
MMC(A, B) = ∏ Pi ^ max(αi, βi)

Solução do problema:
360 = 2*180 = 2^2 * 90 = 2^3 * 45 = 2^3 * 3 *15 = 2^3 * 3^2 * 5

A = 2^3 * 3^x * 5^y
B = 10^4 * 3^8 = 2^4 * 3^8 * 5^4
MDC(A,B) = 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1

Aplicando a (eq. 1) aos fatores primos 2, 3 e 5, temos:
Expoentes de 2: 3 = min(3, 4)
Expoentes de 3: 2 = min(x, 8) (eq. 2)
Expoentes de 5: 1 = min(y, 4) (eq. 3)

Da (eq. 2):
x = 2

E da (eq. 3):
y = 1

Logo:
x + y = 2 + 1 = 3

Resposta:
x + y = 3

Answer 3

A = 2³ * 3^x * 5^y =
B= 10^4 * 3^8 =
MDC(A, B) = 360
360| 2
180| 2
..90| 2
..45| 3
..15| 3
....5| 5
....1
A : B = 360 = 2³.3².5¹. Então; x = 2; y = 1
x + y = 2 + 1 = 3
Resposta: A soma de x + y é 3.
<><

Answer 4

a fatoração de A é: 2^3*3^x*5^y
a fatoração de B é: 2^4*3^8*5^4
a fatoração de 360 é: 2^3*3^2*5^1

Para se calcular o MDC de dois números, deve-se pegar apenas os fatores comuns, e caso tenham expoentes diferentes, devemos pegar o de menor expoente, para que o mDC seja um divisor comum! O MDC entre A e B é:
MDC=2^min(3,4) * 3^min(x,8) * 5^min(4,y)=2^3 * 3^2 * 5^1
onde min representa o menor dentre os dois números. Então:
min(x,8)=2 → x=2
min(4,y)=1 → y=1

Então x+y=2+1=3.

Answer 5

Renato,
Se você já sabe, por que pergunta?

Answer 6

Decompondo B em fatores primos temos:B=2A4.3A8.5A4 e temos que A=2A3.3Ax.5Ay, logo comparando os menores expoentes de A e B e tendo como m.d.c de AB=2A3.3A2.5A1, então temos que x=2 e y=1. Contudo isso podemos concluir com toda a certeza que x+y = 3

Answer 7

você enrolou tudo.
M D C quer dizer "máximo divisor comum".
ou qual o número maior possível que pode ser dividido dois ou mais números.
exemplo: 18, 24 e 48 o MDC é 6, pois eles são divisíveis por 2, mas não serve pois podem ser divisíveis por 3, mas também não serve, pois eles podem ser divisíveis por 6, portanto o máximo divisor comum entre os três números é 6.
2 dá
3 dá
6 dá
não há número maior que seis que todos os três números possa ser dividido.
então o MDC de 18, 24 e 48 é 6.