單擺運動實驗

Question

單擺運動實驗中，擺錘擺動與哪兩個因素有關?




p.s.請詳加說明為何有關!THANK Q~

"簡諧運動"又是什麼呢

Answer 1

單擺運動的分析
分析單擺運動，和分析其它運動沒什麼兩樣，可以由牛頓第二定律來討論。由於單擺的擺長是固定的，所以當擺錘運動時，在瞬間其實就是一種變速率的圓周運動。

如上圖，令單擺由右向左擺動為前半週期的運動，由左向右時為後半週期的運動。同時，我們令向右偏離的擺幅的擺角為正，向左的擺角則為負。當然了，正中央垂線的位置的角度為零。由於我們已經知道了擺錘運動時所受的力，根據牛頓第二定律，我們可以寫下如下關係式：
- mgsinq = ma (力的方向和角度方向相反)
==>
圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/%7Echoucl/GPhysics/gen_phys/images/Pend-05.gif

擺錘的瞬間加速度 a 其實等於擺長乘上擺錘運動的角加速度 aq。要解得上式，必須要用微分方程式的知識。對於大一的學生可能有點難。不過，我們可以在假設單擺的擺幅都很小的情形下(約小於正負 6o 左右)，來化簡方程式。則此時單擺的運動就成了和理想彈簧運動一樣的簡諧運動(Simple harmonic motion)了：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/%7Echoucl/GPhysics/gen_phys/images/Pend-06.gif

所以我們可以得到出小擺幅的單擺的運動週期 T 為：

圖片參考：http://www.phys.cycu.edu.tw/%7Echoucl/GPhysics/gen_phys/images/Pend-15.gif

由這個結果知道，單擺週期只和兩個因素有關：
(1)和單擺的擺長的根號成正比
(2)和重力加速度大小的根號成反比
在理想的狀況下，單擺運動和擺錘質量無關。


圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-4b.jpg
　
(1)在同一地點時，重力加速度g都相同，則單擺週期與擺長的平方根成正比，即地點相同時：(T1/T2)= √(ι1/ι2) (2)不同地點（如地球與月球）重力加速度不同，若擺長l固定，則單擺週期與重力加速度的平方根成反比，即 擺長相同時 (T1/T2) =√(g1/g2) (∵(T1/T2)=(2π√ι1/g1 )/ (2π√ι2/g2 )=
√(g2/g1)
(3)單擺之週期恰為2秒者，稱為秒擺，因重力加速度g直各地不同，單擺之擺長亦隨地而異，在重力加速度g=980cm/sec2處 其擺長為ι 則由 T=2π√(ι/g)
∴ι=T2*g/(2π)=22*g/4π2=g/π2=99.39cm
(4)單擺可側重力加速度g，即由T=2π√(ι/g)式 ，可正確計算出g 值
　


凡一質點在同一直線上作往復運動，其恢復力與位移成正比，且方向相反者，稱為簡諧運動(simple harmonic motion)，簡寫為S.H.M.，即:
　
F=-kx
　
　

等速圓週運動與簡諧運動之關係：
等速圓週運動的質點，其垂直之正投影(銀色球)的運動為簡諧運動。
　


圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-1.gif

1.完成一週運動或來回一次所需要之時間，稱為週期。

圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-aup.gif
週期之單位為秒。
即週期 T=2π/ω
ω 角速度
　
　
2.頻率：
單位時間內運動之週數或次數，稱為頻率，頻率之單位為1/秒。

圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-23.gif
　
即頻率 f=1/T=ω/2π
　
　
3..簡諧運動之週期，與參考圓作等角速圓週運動之週期相同。

圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-1v.gif

簡諧運動週期
T=2π√r/a
即簡諧運動之週期=2√振幅/最大加速度

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

單擺之運動：

圖片參考：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/images/ch10-4b.gif

一單擺運動的角度θ甚小時 (θ≦5) ，可視為一種簡諧運動，其擺動的週期T為
T=2π√(ι/g)
即單之週期與擺長的平方根成正比，與重力加速度之平方跟成反比，與擺錘質量、振幅無關。