<數學問題>三個極限問題，很急，麻煩大家了!!

Question

如題，眞的很急，要過程，假如過程很長，還是麻煩大家不厭其煩的回答，感謝!!
1.利用 lim x->0 (sin x / x)=1，求證 lim x->0 (1-cos x / x^2)=1/2

2.lim x->無限大 (sin√x+1 - sin√x)
Ans:0

3.求f(x)= x^3/x^2+x-2 的漸近線
Ans: x=-2,x=-1,y=x-1 我要問的是 y=x-1 ，他是怎麼來的?

感謝你^無限大

√就是 根號

所以第二題是lim x->無限大 (sin根號x 1 - sin根號x)

拜託大家，我快沒時間了!!

Answer 1

1.
　　1-cos x
lim────
x→0　x2
　　 (1-cos x)(1+cos x)
= lim────────
x→0　x2(1+cos x)
　　 　　1-cos2x
= lim　─────
x→0　x2(1+cos x)
　　 　　sin2x
= lim　─────
x→0　x2(1+cos x)
　　 　sin x　　　 sin x　　　　　　1
= (lim───)　(lim───)　(lim─────)
　x→0　x　　x→0　x　　 x→0　1+cos x
= (1)(1)(1/2)
= 1/2
2.
sin√(x+1) - sin√x
=2cos((√(x+1)+√x)/2)sin((√(x+1)-√x)/2)
=2cos((√(x+1)+√x)/2)sin(√(x+1)-√x)(√(x+1)+√x))/(2(√(x+1)+√x)))
=2cos((√(x+1)+√x)/2)sin(1/(2(√(x+1)+√x)))
∵-1≤cos((√(x+1)+√x)/2)≤1　(有界)
且 lim　sin(1/(2(√(x+1)+√x))) = sin 0=0
　x→∞
∴ lim　(sin√(x+1) - sin√x)
　x→∞
= 2 lim　cos((√(x+1)+√x)/2)sin(1/(2(√(x+1)+√x))) = 2‧0=0
　x→∞
( 有一個定理是說若g(x)在x大於某實數之後有界,且
lim　f(x)=0，則 lim　f(x)g(x)=0 )
x→∞　　　　x→∞
3.
設y=mx+b是f(x)=x3/(x2+x-2)的漸近線則
lim　((x3/(x2+x-2))-(mx+b))=0
x→∞
lim　((x3/(x2+x-2))-mx-b)=0
x→∞
lim　(((x3/(x2+x-2))-mx-b))/x)=0
x→∞
lim　(x2/(x2+x-2))-m=0
x→∞
lim　(x2/(x2+x-2))=m
x→∞
lim　(1/(1+(1/x)-(2/x2)))=m
x→∞
1=m
由上面也知道
lim　((x3/(x2+x-2))-mx=b
x→∞
lim　((x3/(x2+x-2))-x=b
x→∞
lim　((x3/(x2+x-2))-x(x2+x-2)/(x2+x-2)=b
x→∞
lim　((x3-x3-x2+2x)/(x2+x-2))=b
x→∞
lim　((-x2+2x)/(x2+x-2))=b
x→∞
lim　((-1+(2/x))/(1+(1/x)-(2/x^2)))=b
x→∞
-1/1=b
-1=b
∴漸近線y=x-1
另兩條垂直的你已知道了。


2006-12-24 00:21:14 補充：
有一個亂碼∵是∵

2006-12-24 00:21:59 補充：
∵是"因為"