Um conjunto infinito pode ser maior que outro conjunto infinito?

Question

Por exemplo, o conjunto dos números naturais é menor, igual ou maior que o conjunto dos números inteiros?

Answer 1

Resposta curta: Sim.

Resposta longa:
Primeiro a resposta ao exemplo pedido. Z (inteiros) e N (Naturais) têm a mesma cardinalidade (os seus infinitos têm o mesmo "tamanho"). Prova simples:

A função

Z(n) = int{ [ (-n)(-1)ⁿ - (-1)ⁿ + 1 ] / 2 }

mapeia N em Z biunivocamente (para cada elemento de N temos um e somente um elemento de Z).

Entretanto, qualquer intervalo de R tem cardinalidade maior que N. Prova simples:

Suponhamos que exista o seguinte mapeamento do intervalo [0,1) em N:
0,00000 ... 000 ... | 0
0,mmm ... mm ... | 1
...
0,99999 ... 999 ... | ∞

Ou seja, à esquerda estariam TODOS os reais entre 0 (inclusive) e 1(exclusive) e à direita TODOS os naturais. Agora basta contruir um real que não esteja na lista da esquerda para mostrar que a cardinalidade do intervalo de R é maior. A tarefa é simples: crie uma função qualquer que mapeie os números de 0 a 9, f(a) = b, de forma que a ≠ b e construa o nº de forma que:
0 1º dígito decimal é f(1º digito decimal do 1º real na tabela);
0 2º dígito decimal é f(2º digito decimal do 2º real na tabela);
0 3º dígito decimal é f(3º digito decimal do 3º real na tabela);
... e assim sucessivamente.

Tal nº real é DIFERENTE de TODOS os reais da tabela em pelo menos 1 dígito. Logo, ele não está na tabela. Portanto, a tabela NÃO mapeia todos os reais. Por conseguinte, a cardinalidade de R (ou qualquer intervalo de R) é maior que a cardinalidade de N.
c.q.d.

De fato é possível mostrar que a cardinalidade de R é a mesma de Rⁿ, n є N.

Resposta completa à pergunta:
Sim, um conjunto infinito pode ser maior que outro conjunto infinito (ter uma cardinalidade maior), se o primeiro for contínuo e o segundo for discreto.

Answer 2

Olá!
Veja pelo lado filosófico, como a isso se resolve:
§-Diga SIM!
§-Analise: Desde que um "conjunto infinito" contenha o "outro" e os dois "não se comuniquem". Aquele que "estiver Contido" no "incomunicável infinito" é sem sombra de dúvida O MENOR.

DATA 20-12-2006 HORA pode:ser:aleatória

Abração do amigo, Adelso de Castro.

Answer 3

Quando comparamos dois conjuntos, perguntamos: qual a relação que existe entre eles? Um pode estar contido no outro, pode haver intersecção entre eles ou eles podem não estar relacionados. Por isso, não podemos dizer que um é maior que o outro, se ambos contém o mesmo número de elementos...

No entanto, podemos dizer que um está contido no outro, como no caso dos números inteiros e dos naturais. Como não existe nenhum elemento em N entre 1 e 2, por exemplo, dizemos que ele é discreto. Como existem infinitos elementos em Z entre 1 e 2, dizemos ele ser contínuo.

(N dentro de Z: desenhe uma bola grande e dê o nome de Z. Agora, desenhe uma bola dentro desta e nomeie de N).

Alguém pode argumentar que, qualquer subconjunto finito de N ({1,2,3}, por exemplo) é também subconjunto de Z. Mas este mesmo subconjunto em Z possui elementos infinitos (o que está errado nisto?!?). Veja bem, um conjunto discreto {1,2,3} não possui os elementos entre eles e, portanto está totalmente dentro de Z!

Se assumissemos um intervalo x:1|-|2 (x que vai de 1 à 2, inclusive), o 1 e o dois pertencem a N, mas o que está entre eles não! Este conjunto seria uma bola que estaria parte dentro de N e parte não.

Answer 4

Boa pergunta, o conjunto dos números reais é maior que o conjunto dos números naturais, mas ambos são infinitos. A resposta então é sim, mas se dois conjuntos são infinitos, então são de tamanho igual, mas, parece que existem conjuntos mais infinitos do que outros.... ;-)

Answer 5

Sim.Pelo msm motivo q o corso.

Answer 6

Não, porque se é infinito significa que não tem fim, se não tem fim não tem como ser maior ou menor.

Answer 7

Dizemos q o conjunto dos números inteiros tem maior cardinalidade q os números naturais. A grosso modo, cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. Existem idéias interessantes sobre infinito. Uma pesquisa sobre Hilbert é bem apropriada.

Answer 8

Ou o conjunto dos numeros primos (1,2 , 3, 5, 7, 11,13...) ?
Como são infinitos, são iguais em tamanho, mas uns TENDEM A INFINITO MAIS RAPIDAMENTE que outros.

Answer 9

SIM.
Um conjunto infinito de melâncias seria bem maior que um conjunto infinito de jabuticabas.

Brincadeirinha.....

Answer 10

se algum conjunto possuir mais algum elemento