超級難積分！急要

Question

m∫(v/(kv^2-mg))dv
積分範圍為0～V

煩請給詳解,謝謝^^

Answer 1

為了打字方便以及看比較清楚，先做∫(v/(kv-mg)) dv這個不定積分
令 u=kv-mg 則 du= 2kv dv
∫(v/(kv-mg)) dv
=∫(1/(2k))(2kv/(kv-mg)) dv
=∫(1/(2k))(1/u) du
= (1/(2k))∫(1/u) du
= (1/(2k)) ln∣u∣+ C
= (1/(2k)) ln∣kv-mg∣+ C
所以
m∫0V (v/(kv-mg)) dv
= m[(1/(2k)) ln∣kv-mg∣]0V
= (m/(2k)) [ ln∣kv-mg∣]0V
= (m/(2k)) ( ln∣kV-mg∣- ln∣0-mg∣)
= (m/(2k)) ( ln∣kV-mg∣- ln∣mg∣)
= (m/(2k)) ln∣(kV-mg)/(mg)∣
= (m/(2k)) ln∣kV/(mg) - 1)∣

2006-12-16 11:44:35 補充：
哇! 上面變亂碼了，這就是新版的知識

∣ 代表絶對值符號 |

2006-12-16 11:45:44 補充：
......

= (1/(2k))∫(1/u) du

= (1/(2k)) ln| u | C

= (1/(2k)) ln| kv-mg | C

2006-12-16 11:46:34 補充：
所以

m∫(0~V) (v/(kv-mg)) dv

= m[(1/(2k)) ln | kv-mg | ] 0~V

= (m/(2k)) [ ln | kv-mg | ] 0~V

= (m/(2k)) ( ln | kV-mg |- ln | 0-mg | )

= (m/(2k)) ( ln | kV-mg | - ln | mg | )

= (m/(2k)) ln | (kV-mg)/(mg) |

= (m/(2k)) ln | kV/(mg) - 1) |

2006-12-16 11:49:53 補充：
補充的內容 "加" 號也會不見，比方"加C"只看到一個C，只好麻煩您自己再上下對照一下了。